Vitaminas B1,B2,B3,B5,B6... ¿por qué se perdió la B4?

Las vitaminas son sustancias químicas esenciales para la vida pero que el cuerpo no es capaz de sintetizar a partir de otros compuestos. Por eso, es obligatorio tomar una determinada cantidad de ellas a diario.

¿Cómo se nombran éstas sustancias? ¿Qué son exactamente? ¿Por qué hay huecos en la secuencia de sus nombres? El post de hoy intenta responder todo ésto de forma asequible y sencilla.

Bajo la genérica definición de "sustancias químicas esenciales para la vida pero que el cuerpo no es capaz de sintetizar" se incluyen distintos tipos de moléculas: "vitaminas" no es un término tan específico como por ejemplo "proteínas".

Pero hay aún más genericidad: cuando hablamos de una "vitamina X" en realidad lo que se nombra es una actividad X concreta dentro de algún proceso bioquímico en el cuerpo. Para cada "actividad" pueden existir una o diez sustancias distintas que la activen, por los que todas ellas se llamarán informalmente "vitaminas X".

Hablando con propiedad, cada una de dichas sustancias realmente se llaman provitaminas, y todas ellas son capaces de acoplarse a una determinada enzima (no activa) que, gracias a la pequeña modificación en su estructura tridimensional causada por las cargas eléctricas de la provitamina, adquiere, ya sí, su capacidad de catalizar una determinada actividad.

Un ejemplo. La vitamina A, continuamente necesaria para que nuestras células de la retina sean capaces de ver los colores puede suplirse ingiriendo un compuesto orgánico llamado retinal. Pero si tomas beta-caroteno, también estás tomando vitamina A, al ser el cuerpo capaz de procesarla para realizar la misma función que el retinal.

Estructura 3D del Retinol, provitamina de la vitamina A necesaria para que funcione nuestra visión (fuente)

Sobre los nombres de las vitaminas, éstas se nombraron (casi siempre) por orden de descubrimiento: A, B, C, D, ...

Pero la bioquímica es una disciplina compleja y lo que se creía que era una sola vitamina, la B, acabó revelándose como toda una familia de sustancias distintas que realmente jugaban diferentes roles en el metabolismo celular, por lo que se les asignaron nombres individuales: vitamina B1, B2, B3, B4, B5, etc.... Forman el llamado grupo B de vitaminas.

Necesitamos tomar la vitamina B5 (presente en casi todas las carnes), y la B3 (presente en multitud de alimentos). Pero como dice el título no verás en ningún sitio que se menciona la B4. La razón de este hueco, y algunos otros, es que algunas sustancias dejaron de ser vitaminas cuando se descubrió que, contra lo esperado, sí que eran sintetizadas por el cuerpo. Es decir: la denominación de "vitamina" se puede perder.

Y el de la B4 no fue un caso aislado. La misma historia ocurrió con las antiguas vitaminas B8, F, G, H, etc..., degradadas de categoría a lo largo del siglo XX según el conocimiento científico científico ha ido avanzando.

A día de hoy, quedan 13 vitaminas que mantienen su estatus: A, B1, B2, B3, B5, B6, B7, B9, B12, C, D, E, y K1.

Para leer más: 1, 2, 3

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El límite de lo que se considera vida: viroides y partículas de RNA

La capacidad de hacer copias de uno mismo es la base misma de la herencia, y por lo tanto, es lo que permite la evolución biológica. Hasta principios de los años 70 se pensaba que la única molécula capaz de lograr esto era el DNA, pero en esa década quedó comprobado que el RNA también podía autoreplicarse.

El proceso de copia normal tanto en las pequeñas bacterias como en nuestras células más complejas implica a una enzima, la RNA-polimerasa, que, a partir de la doble hélice de DNA, genera una "copia" o transcripción en el formato de una larga molécula de RNA, que a su vez acabará dando lugar a la síntesis de proteínas. Un proceso que está ocurriendo millones de veces en paralelo ahora mismo en tu cuerpo. Para más detalles sobre esto, ver el siguiente vídeo o este post antiguo.

De manera similar a las enzimas que permiten transformar cadenas de DNA en RNA mensajero, existen algunas versiones de RNA polimerasa que generan RNA... a partir de RNA.

Es posible por lo tanto que una molécula de RNA cuidadosamente "diseñada" se autoreplique en el entorno adecuado, sin necesidad alguna de portar DNA. Y este nicho, por supuesto, fue encontrado por la evolución.

Precisamente cada vez que pillas una gripe estás ayudando a la proliferación de un tipo de virus que únicamente tienen RNA como material genético. En toda su simplicidad, un virus como éste aún tienen bastante "complejidad": su genoma codifica algunas proteínas que acaban conformando una partícula viral (o virión) con una pared claramente definida que protege su código genético en el interior.

Esquema de partícula viral de la gripe.

El genoma del virus de la gripe tiene en torno a 10.000 nucleótidos ("letras" del DNA o RNA), lo que es enano en comparación con los ~3.000 millones de nucleótidos de nuestro genoma.

Pero existen "cosas vivas" aún más pequeñas: los viroides. Se trata de, sencilla y llanamente, secuencias de RNA catalítico. Pequeñas moléculas con una longitud de solamente unos pocos cientos de bases en forma circular, que infectan plantas, llegando a causarles incluso la muerte.

No tienen cubierta protectora, y sorprendentemente, su RNA no codifica ningún tipo de proteína, por lo que durante años los científicos no entendieron cómo era posible que produjeran síntoma alguno en sus huéspedes.

En 1971 se descubrió el primer viroide, el PTSVd, una molécula que infecta las patatas. Su estructura, se piensa que es la siguiente (click en la imagen para ampliar):

Eso es todo: 359 nucleótidos de RNA que forman una doble cadena consigo mismo, ni siquiera de manera perfecta (fíjate cómo en algunas partes la cadena no está "pegada" ya que las bases de cada lado no son las complementarias).

Micrografía del viroide PSTV de la patata, en sus formas estiradas y circulares (fuente)

Pero, si ese minúsculo RNA no codifica ninguna proteína, ¿cómo es capaz de tener algún efecto en las plantas que infecta? Según las investigaciones más recientes, parece que el parecido de ciertas partes del genoma del viroide con el propio genoma de la planta infectada hace que sean seleccionadas por enzimas Dicer, lo que acaba dando lugar a una degradación o interrupción de las rutas normales por las que la célula vegetal genera sus propias proteínas. Ese bloqueo es, posiblemente entre otros efectos, lo que origina los síntomas de la infección.

El viroide más sencillo conocido solamente tiene 220 bases en su genoma (artículo de 1998). Hasta ahora, es la partícula "viva" (si se permite esa expresión) más simple que se conoce que haya evolucionado en la Naturaleza.

Como curiosidad, realmente existió una molécula de RNA aún más pequeña y con capacidad de autoreplicarse: el "monstruo" del Dr. Spiegelman, de tan sólo 218 nucleótidos. Pero en ese caso la molécula fue el resultado de un experimento de "evolución en tubo de ensayo", así que no tiene tanto mérito como los viroides que tienen que ser capaces de buscarse la vida por sí mismos en el mundo.

Para leer más: 1, 2, 3, 4

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Energía potencia, energía cinética y campos conservativos: demostración experimental

(Disclaimer: el nivel de este post es aprox. de secundaria)

La mecánica del sólido rígido es de lo más sencillo en mecánica física: estudia cuerpos que se pueden idealizar por un sólo punto situado en su centro de gravedad.

Ignorando las rotaciones, que complican (sólo un poco) la situación, podemos definir dos tipos de energías para cada sólido rígido:

• Energía cinética: Es la energía que lleva un cuerpo por el hecho de estar moviéndose. Intuitivamente, podemos imaginar esta energía como la que habría que aplicar al móvil para conseguir pararlo. Parece obvio que dependerá tanto de la velocidad que lleve como de su masa. De hecho, su expresión es:

E_c = 1/2 m v² (J, Julios)

con m la masa del objeto (Kg) y v su velocidad (metros/segundo).

• Energía potencial: Es una energía "ficticia" que definimos nosotros cuando un cuerpo está en mitad de un campo de fuerzas, como por ejemplo, el de la gravedad. En este caso concreto, la energía potencial viene dada por una expresión:

E_p = m g h (J, Julios)

siendo m la masa del cuerpo (Kg), g la aceleración de la gravedad (9,81 m/s^2) y h la altura hasta un nivel (arbitrario) donde la energía potencial se define como cero.

Una vez definidos ambos conceptos, podemos usarlos junto al principio de conservación de energía para resolver innumerables problemas. Dicho principio dice que, de no existir más fuerzas aplicadas sobre un cuerpo que la causante del campo potencial (*), la suma de energías cinéticas y potenciales se mantendrá exactamente constante:

E_p+E_c=Cte.

Asombrosamente, este resultado se cumple siempre, independientemente del camino que siga la partícula. Se puede demostrar que esto ocurre siempre que el campo de fuerzas cumpla que su rotacional sea cero:

en cuyo caso la fuerza se llama conservativa.

En el caso de campos potenciales causados por la gravedad, esto quiere decir que si un objeto desciende una altura H (ignorando rozamientos y otros pequeños efectos), no importará el camino que haya recorrido: al final, habrá perdido la misma energía potencial, que por el principio de conservación se habrá convertido en energía potencial, y por tanto, acabará siempre teniendo la misma velocidad.

Haciendo cuentas, la energía potencial perdida será mgH , que será igual al incremento de energía potencial. Asumiendo que estaba en reposo al comienzo, se puede calcular la velocidad final así:

Fíjate que ni siquiera hemos asumido nada sobre la dirección de la velocidad en que se mueva el objeto. Podría ser cualquiera, pero su módulo estará dado por la expresión de arriba.

Exactamente eso es lo que muestra el siguiente vídeo:

Primero se deja caer una bola desde una altura determinada, y se mide su velocidad al llegar a la mesa. La velocidad realmente se mide como el "tiempo de tránsito" que tarda la bola en atravesar un dispositivo óptico.

Luego, se vuelve a solar la bola desde la misma altura, pero esta vez en el extremo de un péndulo (**). Aunque el camino recorrido no es el mismo, el principio de conservación hace que la velocidad horizontal al llegar abajo sea exactamente la misma que la velocidad vertical del primer caso.

¡Un bonito experimento!

(*) Se permite que existan otras fuerzas siempre que no produzcan trabajo.

(**) Sí, en el caso del péndulo hay dos fuerzas actuando sobre la bola: la gravedad y la tensión de la cuerda. Pero esta segunda actúa siempre en dirección perpendicular a la velocidad, por lo que el trabajo realizado (cambio de energía de la bola) es siempre de cero. ;-)

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Astrónomos refutan la teoría del "flujo oscuro" del Universo

Hace unos años aparecieron varias noticias (1, 2, 3) anunciando que científicos de la NASA habían encontrado lo que se bautizó como "el flujo oscuro" del Universo: una "misteriosa" fuerza que tiraría de todo el Universo en una dirección particular (no confundir con la también hipotética energía oscura ni la materia oscura).

Si eso fuese cierto, podría implicar que existe "otro" universo, fuera de nuestro universo observable, con una masa tan grande que tiraba de las galaxias en esa dirección particular. El otro va entre comillas porque no es "otro universo" en el sentido de "en otra dimensión", sino, simple y llanamente, sería parte de nuestro mismo universo pero a una distancia tan enorme que la luz no ha tenido tiempo aún de llegarnos por lo que no lo podemos ver.

Según los astrónomos, el universo tiene su sistema de referencia absoluto, la radiación cósmica de fondo, con respecto a la cual todas las galaxias se deberían mover aleatoriamente (hablando con propiedad, con una media de cero) si la actual teoría del Big Bang es correcta (como convincentemente parece que es).

Pues este hallazgo tan publicitado parece que ha quedado como una falsa alarma. En lugar de estudiar el desplazamiento de clusters como hizo el equipo de la NASA en 2008, ahora un equipo de la universidad de Buffalo ha estudiado 557 supernovas, distribuidas en todas las direcciones del Universo.

Supernova 1994D (SN1994D) en la galaxia NGC 4526. La supernova es el punto brillante abajo a la izquierda. Pueden llegar a brillar más que toda la galaxia completa durante un breve período de tiempo. (Crédito: NASA)

Para las supernovas cercanas a la Tierra han encontrado que todas parecen seguir una misma dirección. Pero esto es lógico ya que, haciendo una analogía, nosotros y ellas vamos en el mismo "pequeño barco cósmico" dentro del mar del universo.

En cambio, cada supernova lejana parece moverse en una dirección arbitraria. No existe ese tirón hacia un posible universo oculto.

Los investigadores se muestran cautos aunque insisten en que sus datos claramente contradicen al anterior estudio. Su paper aparecerá en la Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.

Definen su descubrimiento como "aburrido", ya que en lugar de proponer una "misteriosa nueva fuerza del universo", sus datos encajan perfectamente con lo que hoy es el modelo estándar de la cosmología: el modelo Lambda-CDT.

Las observaciones para el estudio fueron recogidas del dataset "Union2", en el que están involucrados diversos telescopios y medidas hechas en distintas épocas, reduciendo la posibilidad de errores sistemáticos introducidos por los autores del artículo.

Fuente: 1

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Rectificación óptica: un nuevo método económico para explotar la energía solar

¿Qué ocurre cuando dos rayos de luz se cruzan? ¿Chocan, interactúan de alguna manera? La respuesta válida en la mayoría de las situaciones es: no, no interactúan. Al igual que dos pequeñas olas en una piscina, cada "onda" llega, se cruza con las demás, y cada cual sigue su camino sin inmutarse. El resultado es que en cada punto existe una suma, o superposición, de los efectos de cada una de las ondas de luz:

Pero esto es en una primera aproximación, que asume que la respuesta del medio es lineal. Un frente de onda de luz en realidad se puede ver como un campo eléctrico y magnético ligados mediante leyes muy bien definidas que hacen que se propaguen cada uno en un plano perpendicular al otro, como en este esquema:

Los campos eléctrico (E) y magnético (B), propagándose en dirección Z+.

El campo eléctrico (E) es mucho más intenso que el magnético (B), y al pasar por un material dieléctrico "empuja" a los electrones de los átomos formando una pequeña diferencia de potencial eléctrico, o densidad de flujo eléctrico (D), que no sólo depende del campo E, sino de las propiedades del material:

D = εE + P (ε es la permitividad eléctrica)

Las ecuaciones de comportamiento de las ondas electromagnéticas dictan que el campo magnético depende de esta densidad de flujo D, que sólo depende del campo eléctrico E indirectamente, por lo que la propagación de la onda en el material depende de la fórmula concreta para su densidad de flujo D.

Cuando esta expresión es lineal, se cumple que rayos de luz se cruzan sin ningún efecto y cada cual sigue con su camino. Pero en realidad, ningún material es perfectamente lineal, sino que su comportamiento depende de la intensidad de la luz.

A muy altas intensidades, empiezan a aparecer efectos no lineales, y las cosas se ponen interesantes: se pueden conseguir efectos como duplicar o triplicar la frecuencia de la luz (en realidad es un efecto que se explota intensivamente también en electrónica).

Incluso, como se descubrió en 1962, se puede rectificar la componente eléctrica de la luz aprovechando las no linealidades de segundo orden, en algo similar a los rectificadores de diodos semiconductores para corriente alterna con el que seguro que muchos estáis familiarizados (los ya casi obsoletos transformadores): por un lado entra una "onda", con un voltaje medio de cero, y por el otro sale una corriente eléctrico con componente de continua que se puede extraer como corriente eléctrica.

Esquema de rectificador electrónico a diodos (ojo, es sólo un símil de lo que ocurre realmente dentro de materiales ópticos no lineales)

Pues bien, científicos de la universidad de Michigan han anunciado hoy que han descubierto una nueva forma de extraer electricidad a partir de la luz. En un artículo publicado hace unos días en Journal of Applied Physics titulado "Optically-induced charge separation and terahertz emission in unbiased dielectrics" (paper, no acceso libre), los científicos dicen literalmente que la componente magnética de la luz (el campo B) también genera "intensos dipolos a intensidades de luz tan bajas como 10MW/cm^2 en dieléctricos transparentes", un "descubrimiento sorprendente" que "se pasó por alto en los primeros años de estudio de óptica no linear".

En el artículo mencionan que el fenómeno se ha estudiado tanto mediante teoría cuántica como mediante análisis numérico con teoría de perturbaciones, demostrando que la interacción de dicho campo magnético desplaza la posición media de los electrones en el átomo, generando por tanto un dipolo eléctrico estático a lo largo del eje de propagación, lo que implica que se está almacenando energía magnética en el material: el material se convierte en una "batería" cargada de energía óptica de la que se puede extraer electricidad.

Lo más interesante son los cálculos teóricos que presentan para la energía eléctrica que se puede extraer, prediciendo eficiencias máximas en la conversión desde energía óptica para distintos casos.

Para una pieza de zafiro de 4.45cm de largo en el que se enfoque 1KW de luz en un haz de 50micrometros se obtiene una eficiencia del 0.1%.

Si en cambio se usa una fibra óptica de zafiro de 10m de longitud, la eficiencia subiría hasta el 30%. Estos cálculos se cumplen para haces de luz coherentes como los de un láser.

Lo interesante para usar esta tecnología como fuente de energía es que funcione con luz no coherente como la que podría provenir del Sol. Y de hecho los autores demuestran que funcionaría, aunque a menor eficiencia. Como ejemplo, para un colector de luz de 1m de diámetro que la concentrara en una fibra de 1cm y 10m de largo, la eficiencia sería del 3%.

Los autores argumentan que el coste del sistema sería inferior a las actuales células fotoeléctricas, al reemplazar semiconductores por una "sencilla" fibra óptica.

Hasta aquí las buenas noticias. Las malas: el sistema aún no se ha probado en la práctica. Esperan informar de los primeros experimentos durante este año 2011.

Y además, la universidad de Michigan ha iniciado trámites para una patente que le asegure la propiedad intelectual.

Como no pretendo que este post explique todas las complejidades del nuevo descubrimiento, solamente me queda dirigir a los interesados que entiendan de la materia al reciente paper.

Imágenes: 1 2 3

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¿Somos los humanos "chimpancés" en un eterno estado de infancia?

Si te gustan los niños, seguro que las crías de monos también te parecerán adorables y "monos" (valga la redundancia). Por supuesto, esto no es casualidad: va en nuestra programación genética.

Cría de chimpancé imitando caras de su cuidador: sacando la lengua, cara de sorpresa, dando un beso (¡lo intenta!) (Fuente: [1])

El paleontólogo norteamericano Stephen Jay Gould sostenía una inaudita hipótesis sobre la evolución humana:

"El Hombre, en cuanto a su desarrollo corporal, es un feto de primate que ha alcanzado la madurez sexual." [4]

¿Cómo se queda uno ante semejante afirmación? Para ir asimilándolo, la siguiente comparación es esclarecedora. Aunque no nos parecemos demasiado a un chimpancé adulto, si nos comparamos con una cría la cosa ya cambia bastante:

Chimpacé adulto (izquierda) y cuando aún es una cría (derecha). De Adolf Naef, 1926.

Si el parecido de la cría con "una personita" te da un poco de mal rollo, estas experimentando el valle inquietante. La foto la tomó un tal Adolf Naef a principios de siglo XX, y aunque algunos opinan que el animal estaba muerto cuando preparó la toma (perdón, ¡no recuerdo la referencia de dónde lo leí!), el parecido de la cara y el cráneo es indiscutible. Por cierto, la comparación con el chimpancé (en lugar de con cualquier otro homínido) viene del hecho de que son nuestros primos más cercanos en la evolución: nuestro abuelo común vivió hace sólo ~5 millones de años.
El género Hono (nosotros) y el Pan (chimpancés) somos familiares cercanos (fuente).

La evolución, cualquiera que sea la causa que la empuja, tiene sus artes. Puede modelar el cuerpo de los seres vivos estirando, acortando, girando, duplicando, etc... las diferentes partes del cuerpo, o de las proteínas que lo forman (y existen muchas otras cosas que no puede hacer).

Pero al igual que puede operar en las tres dimensiones espaciales, también puede jugar con el tiempo, acelerando o desacelerando determinados procesos que están genéticamente programados para ocurrir en las distintas etapas de formación del embrión, la niñez o la vida adulta. Todos los hechos programados para antes de tener descendencia están muy depurados (piénsalo: ninguno de tus antepasados murió de niño), pero no así los que ocurren a edades más avanzadas. Ese es (uno) de los sencillos hechos detrás de la vejez: a la evolución no le importa (casi) nada lo que nos pase después de haber tenido hijos.

Volviendo a la posibilidad de retrasar hechos programados, a veces ocurre que el periodo de la niñez se alarga, y a eso se llama neotenia (extensión de la juventud). Y hay evidencias de que la neotenia ha actuado al menos en parte de nuestra evolución desde que nos separamos de los chimpancés. Esto se hace más evidente al comparar el desarrollo del cráneo de ambas especies a lo largo de la vida:

A la izquierda, el cráneo de una cría de chimpancé (arriba) y de un bebé humano (abajo). Fijarse en que son extremadamente similares. En el caso del chimpancé, el cráneo se va deformando gradualmente durante la infancia (arriba en medio) hasta llegar a su estado final de adulto (arriba derecha). Nuestro cráneo de adultos humanos se quedó estancado en la forma transitoria de las crías de chimpancé, como muestra la figura central de abajo.

Evidentemente, a priori parece haber un problema con el alargamiento de la niñez: si la madurez sexual no se alcanza hasta la adolescencia/estado adulto, no se podrían pasar dichos genes a la siguiente generación y la mutación que la causa no se propagaría. Por eso, la neotenia se define como el alargamiento de la niñez acompañada de forma forzosa del adelantamiento de dicha madurez sexual, aún siendo morfológicamente "una cría" para los estándares de las anteriores generaciones.

¿Qué ventajas evolutivas podría tener esta estrategia como para haber determinado a la evolución de nuestros antepasados? En primer lugar, se observa que las crías de chimpancé actuales aprenden muy rápido y tienen mucha más curiosidad que cuando están en estado adulto, además de tender a ser más "sociables".

Posiblemente el estilo de vida social de nuestros ancestros fue lo que introdujo esa presión evolutiva que favoreció la selección, por atractivo sexual o cualquier otra ventaja, de los individuos que cada vez retrasasen más su "estado adulto" y conservasen su apariencia juvenil.

Un grupo de chimpancés compartiendo tranquilamente una comida (fuente).

¿Quiere esto decir que llevamos dentro un "mitad mono-mitad humano" esperando a salir a alguna edad muy avanzada?

Porque nuestro cráneo ya no tome la forma de nuestros ancestros homínidos, no quiere decir que no pueda recuperarse mediante algún "interruptor" ahí en nuestro DNA, esperando vanamente a la llegada de una edad inalcanzable (¿150 años?) o de alguna señal química cuya síntesis se perdió hace tiempo. Desde luego, con la edad ¡casi todos nos volvemos cada vez más peludos, y eso parece una reminiscencia del pasado!. Bromas aparte, en realidad hay muchas razones para descartar que exista algún "botón químico" que de pronto nos haga alcanzar una "segunda madurez".

Pero no es absolutamente descabellado, porque existen precedentes.

El ajolote es un animal acuático natural de México. Conocido por el pueblo azteca, para ellos representaba a uno de sus dioses, lo que no es de extrañar por su curioso aspecto (y el aún más raro secreto que guarda):

Ese es el aspecto que suele tener el animal durante toda su vida: nace, crece, se reproduce y muere con esa pinta. Y así ha sido por muchos miles de años.

Pero sobre principios del siglo XX, a un tal Vilem Laufberger le dió por inyectar hormona tiroidea a uno de estos animales... ¡y se convirtió en una salamandra!:

El ajolote era tan sólo una larva. Pero tras un proceso evolutivo de neotenia, había conseguido reproducirse antes de llegar a la metamorfosis, alargando esa etapa de "niñez" indefinidamente... aunque ante la señal química adecuada seguía siendo capaz de terminar en su antigua forma adulta que ya no necesitaba.

Para hacer honor a la verdad, el ajolote sí que puede llegar a su forma adulta sin necesidad de inyectarle nada, pero sólo si sufre algún tipo de proceso traumático o estresante, por lo que la mayoría de ejemplares viven una vida plena en su forma de larva tan tranquilamente.

Después de todo esto, espero haberos convencido un poquito de la posibilidad de que seamos "bebés de chimpancés".

Pero, ¿qué opinas? Esta presión evolutiva de nuestro pasado, ¿sigue presente hoy día? ¿Tendrán los humanos adultos del futuro lejano apariencia de nuestros adolescentes?

Para leer más: 1 2 3, 4 (Libro: "Ontogeny and Phylogeny", S.J. Gould), 5

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"Fallos" de la evolución (III): nuestra retina mira hacia la nuca, no hacia adelante

Tener algún tipo de ojos parece muy útil para cualquier tipo de ser vivo que necesite moverse para comer, evitar ser comido o reproducirse. Tan útil, que se estima que distintos tipos de ojos han evolucionado hasta 100 veces independientemente. Como mínimo, se tienen pruebas de ojos en épocas tan tempranas como el Cámbrico (hace ~500 millones de años), aunque es posible que existieran en animales anteriores que al no tener partes duras no dejasen fósiles.


Arriba: Representación artística de la fauna típica tras la explosión del Cámbrico, que algunos [6] atribuyen a la carrera armamentística evolutiva desatada con la invención misma de los ojos. Abajo: Fósil de Xandarella (un tipo de Trilobites) de hace ~500 millones de años, donde ya existían ojos diferenciados (créditos [4]).

Es obvio que el ojo ha evolucionado independientemente al comparar ojos tan dispares como los de los mamíferos y los de los artrópodos. Pero si nos fijamos en los de un mismo linaje familiar, por ejemplo el de los mamíferos por ser el que nos toca, la evolución no puede más que ir adaptando y moldeando el ojo de las distintas especies dentro de sus posibilidades. Nunca reinventar el ojo desde cero. Para lo bueno, y para lo malo, una vez "decidido" un diseño, es imposible volver atrás porque la evolución no es un proceso de diseño consciente.

Un ojo animal se define como un órgano fotosensible capaz de formar imágenes, por muy rudimentarias que sean. Hay animales que tienen ojos compuestos, otros con sencillas cámaras huecas con un "agujerito" por donde entra la luz sin ningún tipo de enfoque (modelo pinhole del nautilus), y luego están los complejos ojos de los mamíferos con potentes lentes que nos permiten incluso variar el enfoque y ver cosas nítidamente a distintas distancias estirando el cristalino con unos músculos especiales.

Pero siendo tan perfectos como son, nuestros ojos tienen sus fallos, y es de lo que trata el post de hoy. Comparemos nuestro ojo con el de los pulpos, y notaremos algo muy curioso:

Comparación de nuestros ojos de vertebrados (izquierda) con los de los pulpos (derecha).

Aunque parezcan muy similares, han evolucionado independientemente. Eso sí, a partir de maquinaria molecular (en forma de proteínas codificadas en el ADN) de nuestro ancestro común con los pulpos, que hace mucho tiempo pasó a mejor vida.

Ambos ojos tienen un complejo sistema de lentes que permite enfocar la luz hacia la retina, que es el tejido fotosensible que recubre el fondo del ojo. La retina tiene células especiales que al detectar luz, generan un pulso eléctrico que es recogido por nervios. El manojo de cables eléctricos que son todos esos nervios salen del ojo hacia el cerebro para interpretar los pulsos como alimento, un depredador u objetos complejos según la capacidad de percepción que tenga el animal en cuestión.

Pero si te fijas en el dibujo de arriba, el "manojo" de cables sale de distinta forma en los vertebrados (nosotros) y en los pulpos. En este segundo caso, los nervios se conectan a la retina por detrás, de forma que todos se reunen en un punto para ir al cerebro.

Pero en nuestro caso, los nervios... ¡¡van por delante, tapando la visión!! ¿A qué ingeniero se le ocurriría este diseño absurdo?. De hecho, al tener que salir todos los nervios por algún sitio, en ese punto no puede haber sensores fotosensibles. Éste es el origen del punto ciego, ese gran fallo del ojo que nuestro complejo cerebro se encarga de ocultar a nuestra consciencia.

En efecto, si miramos una sección de la retina humana, vemos que está organizada en capas, y las células fotosensibles (los conos y bastones) están abajo del todo. En las capas superiores se agrupan las células ganglionares, un tipo especializado de neuronas que toman cada una la señal producida por decenas de células fotosensibles:

Fuente: Anatomía de Gray

A pesar de su pequeño espesor (sobre 0.5mm), la retina bloquea bastante luz a las células fotosensibles del fondo, pasando la mayor parte de la luz solamente por los alrededores de dichas células ganglionares. El siguiente dibujo de Ramón y Cajal (de los poquísimos premios Nobel españoles) detalla esta organización de las células retinales, esta vez con el fondo del ojo hacia la derecha (la luz entra de la izquierda).

Por tanto, vemos que, pudiendo perfectamente "hacerlo bien" (cablear por atrás del ojo) como hicieron los pulpos o los calamares, en nuestro caso la evolución tomó el caprichoso y tortuoso camino de poner los cables delante de la cámara.

Como no podía ser de otra manera, a pesar de este "fallo de diseño", la evolución perfeccionó el sistema lo suficiente como para permitirnos una visión estupenda. La compleja red de neuronas ganglionares se especializó en realizar un sistema de detección de bordes en la imagen, un "preprocesado" que facilita mucho el trabajo al cerebro. Además, algunas de estas neuronas, ya que estaban enmedio del camino de la luz, desarrollaron su propia fotosensibilidad, dando lugar al reflejo fotomotor de la pupila.

Ver más entradas de la serie: fallos de la evolución

Para leer más: 1, 2, 3, 4 [Animal eyes, Oxford U.P.], 5, 6, 7, 8 (excelente artículo en Amazings muy relacionado)

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Del pequeño teorema de Fermat a la navegación en webs seguras

A pesar de ser abogado, Pierre de Fermat mantuvo una intensa actividad como "matemático amateur". Al igual que con su otra conjetura más famosa, tampoco demostró el teorema del que quiero hablar hoy, alegando en una carta que "te mandaría la demostración si no temiera que es demasiado larga".

Se llama pequeño teorema de Fermat a la siguiente afirmación:

Sea p un número primo y a un entero cualquiera. Entonces, el resto de dividir a elevado a p-1 entre p es igual a 1. Es decir:

a^p-1 = 1 mod p

Lo de "x mod y" quiere decir "el resto de dividir x entre y", es una notación común cuando se habla de aritmética modular.

Pues bien, éste teorema (y algo más) sirven para demostrar los fundamentos matemáticos en que se basa la navegación segura en webs hoy día.

Cuando navegamos, estamos viendo páginas, imágenes, etc. que no son más que una sucesión de números. Normalmente, esos números se mandan atravesando diversas redes hasta llegar a nuestro ADSL, Wifi o red 3G, y un navegador las representa en su forma de texto o imagen.

Como dichos datos pasan por muchas redes intermedias, e incluso por el aire si usamos un smartphone o una red Wifi, el acceso a material confidencial o el uso de números de tarjetas de crédito sería muy inseguro si no se usara algún tipo de cifrado.

El cifrado que se usa hoy día para navegación segura se llama RSA (por las siglas de sus inventores Rivest, Shamir y Adleman) y es un algoritmo de clave pública: esto quiere decir que se emplean dos claves:

• Clave privada: Usada por el servidor para descifrar datos que se dirijan a él. Es fundamental que esta clave no sea divulgada.
• Clave pública: La conoce todo dios, y se usa para cifrar mensajes que, entonces, sólo el que tiene su clave privada correspondiente sabe descifrar.

Es decir, cada clave privada tiene asociado su clave pública compañera. Van en parejas. ¿Por qué no se usan algoritmos de una sola clave? Está claro: si necesitamos enviar algo a un servidor, todo el mundo debería saber su clave, que al ser la misma que la usada para descifrar, no proporcionaría mucha seguridad que digamos.

El funcionamiento de RSA se puede resumir así: para generar un par de claves, lo primero es elegir (al azar) dos números primos muy grandes, p y q. Cuanto más gordos sean mejor, ya que la seguridad del método se basa precisamente en que factorizar números grandes es muy difícil.

Con respecto a las claves (que no son mas que números), llamaremos e a la clave púbica y d a la privada. Primero se escoge un valor para d que sea primo con respecto a (p-1)(q-1), y a partir de él existe una fórmula para calcular un valor de e (clave pública) tal que cumpla:

de = 1 mod (p-1)(q-1)

Ahora entra en juego el mensaje que queremos enviar desde nuestro cliente al servidor. Dicho mensaje informático siempre se podrá representar como un número muy grande (una ristra de 0s y 1s). En este caso, el máximo valor del número será pq pq-1, pero si se necesita enviar algo más grande simplemente se puede trocear y enviar un número más pequeño cada vez.

Llamamos a este mensaje M. Pues bien, RSA se basa en que si el mensaje cifrado C se obtiene elevando el mensaje al número que representa la clave pública y nos quedamos con el resto de dividir entre pq:

C = M^e mod pq

Podemos recuperar el mensaje original volviendo a elevar (de nuevo modularmente con respecto a pq) el mensaje cifrado por la clave privada d:

C^d = M^ed mod pq = M

Vamos a demostrar esto último partiendo del pequeño teorema de Fermat.

Como sabemos (por hipótesis) que

de = 1 mod (p-1)(q-1)

entonces para algún entero k tenemos:

de = 1 + k (p-1)(q-1)

por lo que el mensaje cifrado y descifrado (obviando por ahora la parte modular), es:

C^d = M^ed = M^{1+ k (p-1)(q-1)}

Jugando con el exponente de M:

M^ed = M^{1+ k (p-1)(q-1)} = M · M ^{k (p-1)(q-1)} =M · (M ^(p-1)(q-1))^k

Aplicamos ahora el pequeño teorema de Fermat, en las formas:

M^p-1 = 1 mod p

M^q-1 = 1 mod q

Para obtener las relaciones:

M^ed = M · (M ^(p-1)(q-1))^k = M · (M ^(p-1))^k(q-1) = M · (1)^k(q-1) mod p= M mod p

y

M^ed = M · (M ^(p-1)(q-1))^k = M · (M ^(q-1))^k(p-1) = M · (1)^k(p-1) mod p= M mod q

, respectivamente.

Ya sólo nos falta aplicar el teorema chino del resto, que nos dice que si el resto de dividir un número entre dos divisores distintos da el mismo resto, entonces obtendríamos el mismo resto al dividir por el producto de los divisores. En notación modular:

Teorema chino del resto: Sean dos primos relativos p y q. Para cualquier entero a que cumpla a = b mod p y a = b mod q, entonces tenemos que a = b mod pq.

Aplicando este resultado a las últimas dos ecuaciones de arriba:

M^ed = M mod pq

, es decir, que elevando (módulo pq) cualquier mensaje a la clave pública (e) y luego a la clave privada (d), obtenemos el mensaje original, quod erat demonstrandum.

Todo esto, y mucho más, es lo que hay detrás de ese icono del candado que aparece en los navegadores cada vez que visitamos una página con un https:// en lugar del inseguro http://.

Para leer (mucho) más: 1 2 3

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¿Seguro que sólo vemos la mitad de la Luna? Sobre las complejidades de su órbita

Todos sabemos que la Luna orbita alrededor de la Tierra y a la vez gira sobre sí misma con exactamente el mismo período (~27.3 días), lo que explica que siempre mire hacia nosotros la misma cara.

Pero eso no quiere decir que sólo veamos la mitad de su superficie. Debido a las perturbaciones en su órbita (y a que nosotros también vamos en una piedra que lleva sus propios vaivenes), realmente vemos el 59% de nuestro satélite a lo largo del tiempo.

El siguiente vídeo muestra cómo se ve la Luna realmente desde tierra:

(Ver imagen)

Sí, tiene un buen "bamboleo" (aparente).

La idea de los astros describiendo curvas matemáticamente sencillas y "puras" (elipses perfectas) es posiblemente la que la mayoría tengamos en mente tras pasar por la educación primaria y secundaria. Y se acerca mucho a la realidad, pero no es exactamente lo que ocurre, ya que existen diversas complicaciones y perturbaciones.

El estudio de los movimientos de nuestro satélite ha traído de cabeza a los astrónomos desde la antigüedad, ya que al igual que con cualquier teoría científica, casi siempre hay lugar para una nueva teoría que explique aún mejor que la anterior lo que observamos en la naturaleza. No ha sido hasta el siglo XX que finalmente se ha alcanzado un grado de conocimiento casi perfecto sobre la órbita de la Luna, y en parte gracias al desarrollo de los computadores y los análisis numéricos que éstos permiten ya que no es posible resumir la órbita con ecuaciones sencillas.

Hoy traigo un repaso de todas las componentes que contribuyen al movimiento lunar o a sus cambios de apariencia cuando la vemos desde nuestra piedra redonda.

Órbita elíptica alrededor de la Tierra

El magistral Sir Isaac Newton puso punto y aparte a la ciencia formulando por primera vez la ley de la Gravitación universal en la forma matemática moderna, a saber:

Que leído en cristiano es:

Cualquier par de cuerpos, de masas m y M respectivamente, se atraen con una fuerza (F) atractiva (el signo menos) proporcional (constante G) al producto de sus masas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (r).

Esta sencilla fórmula describe tanto la fuerza que tira de tí hacia el suelo como las complejas interacciones de planetas, asteroides y sistemas de estrellas. Probablemente fue la primera vez que alguien se atrevía a formular una ley científica cuantitativa de carácter tan general.

Se puede demostrar (para quien no tema a las matemáticas, aquí o aquí está el proceso completo), que para dos cuerpos en el vacío en el que uno de ellos es mucho más pesado que el otro, esta fórmula predice que el más ligero puede seguir una órbita de forma elíptica con el cuerpo más pesado situado en uno de los dos focos:

El mero hecho de que la luna tenga una órbita elíptica con cierta excentricidad (e=0.05) hace que unas veces esté más cerca y otras veces más lejos. El punto más cercano se llama perigeo y el más lejano apogeo.

Aunque a simple vista cueste apreciarlo, esta distancia variable hace que la luna aparezca en el cielo hasta un 12% más pequeña cuando está en su mínimo con respecto al máximo:

A estos efectos hay que sumar que nosotros miramos a la luna no desde un punto externo al sistema Tierra-Luna sino desde la Tierra que, sin contar siquiera por ahora el movimiento alrededor del Sol, de hecho también orbita: ambos, Tierra y Luna, en realidad orbitan alrededor de un punto imaginario llamado baricentro de ambos cuerpos, y que debido a la distribución de masas, cae a unos ~1700km bajo la superficie del planeta:

El tiempo que la Luna tarda en completar una de estas órbitas completa, relativa al fondo de las estrellas fijas, es lo que se llama mes sideral, y es el que tiene un valor de 27.3 días que puse al principio del post.

Desde la antigüedad, algunas culturas dividieron la eclíptica de la Luna en 27-30 partes a lo largo de todo el cielo, dándoles a cada una un nombre según estrellas llamativas de cada zona. Este es el origen de las "mansiones lunares" (ojo, este es un concepto puramente astrológico sin significado científico).

Órbita alrededor del Sol

Al movimiento anterior, hay que sumar obviamente que si la Luna orbita a la Tierra y ésta orbita al Sol, la Luna realmente tiene un movimiento compuesto de ambos.

Muchas veces se representa la órbita de la Luna como un círculo alrededor de la Tierra mientras ésta sigue su órbita, dando a entender equivocadamente que su movimiento es mucho más rápido de lo que realmente es.

Poniendo las velocidades de la Luna y la Tierra a sus valores reales (con respecto al Sol), se obtiene la siguiente representación, que si bien no es "tan bonita" como las típicas, sí que refleja la realidad:

Se puede observar cómo ambas trayectorias son prácticamente paralelas. Para hacerse una idea, piensa que la Luna sólo se cruza entre la Tierra y el Sol (en esta vista desde el Norte celestial) unas 12 veces al año, es decir cada ~360º/12 = 30º en la órbita terrestre alrededor del Sol.

Fases de la Luna

Tomando en conjunto la órbita elíptica que el satélite describe alrededor de la Tierra más el movimiento de ambos cuerpos alrededor del Sol, surge el efecto de las distintas fases de la Luna, que simplemente son las distintas posiciones relativas entre la Luna, Tierra (desde donde miramos) y Sol (desde donde viene la luz):

Asociado a las fases tenemos el concepto de mes sinódico, que es el tiempo que transcurre entre luna nueva y luna nueva. Tiene un valor de 29.53 días. Recuerda que la luna tarda 27.3 días en volver a la misma posición con respecto al fondo de estrellas, pero como en ese tiempo la Tierra también se ha movido, la luna debe recorrer un poquito más hasta alcanzar la misma posición relativa al Sol y mostrar exactamente la misma fase. De ahí la diferencia entre las dos formas de medir los "meses" lunares.

Libración

El siguiente efecto tiene que ver con la velocidad que la Luna sigue a lo largo de su camino, que no es constante ni mucho menos. El astro acelera al llegar a luna nueva y llena, y desacelera en los cuartos crecientes y menguantes.

Este efecto es mayormente causado por la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre el satélite, que se suma al de la Tierra, perturbando la órbita. El primero en dar una aproximación científica al problema fue el mismo Newton en su Principia:

Aparte de este tirón extra del Sol, cualquier objeto que siga una órbita elíptica lleva una velocidad variable, que se describe mediante la fórmula de Vis-viva.

En total, esto produce un efecto de libración, el "bamboleo" aparente que desde la Tierra tiene la Luna, como viste en la primera imagen de este post. La libración en realidad tiene tres componentes:

• Longitudinal: Debido a la velocidad variable sobre su órbita, hay días que la Luna se adelanta a la Tierra, y en otros días se atrasa. Desde nuestro punto de vista, esto deja ver un poquito de los "lados" este y oeste de la Luna, dependiendo del día, que se supone forman parte de la "cara oculta".

• Latitudinal: También podemos ver partes de la Luna más allá de los polos norte y sur (en distintos días) debido a que su órbita no cae exactamente en el plano de la eclíptica de la Tierra, sino que hace unos 5º con ésta.

• Diurna: La Luna está lejos, pero no lo suficiente como para despreciar que quienes estamos aquí abajo mirándola nos vamos moviendo con la rotación de la Tierra. Y esa distancia nos deja "mirar por los lados" a la Luna a Este y Oeste otro poco más.

Precesiones

A todo lo dicho arriba, hay que sumar otras pocas complicaciones. Para entenderlas, fíjate primero en este esquema:

Se muestra el plano eclíptico de la Tierra (plano de nuestra órbita que incluye al Sol) y la órbita de la Luna dibujada como la elipse X1-M-X2 alrededor de la Tierra (la letra E).

Aunque el dibujo no lo representa correctamente, los puntos X1 y X2 representan el apogeo y perigeo de la Luna. Pues bien, esta línea en realidad va girando (precede) de forma que completa una vuelta completa cada 8.85 años.

Finalmente, tenemos el ciclo de Saros, un período de 18 años y 11 días. Es el tiempo que tardan en describir un círculo completo los nodos ascendentes y descendentes (en la figura de arriba AN y DN).

Tras un ciclo de Saros, el Sol, la Luna y la Tierra vuelven a (prácticamente) la misma posición relativa, por lo que la secuencia de eclipses se repite. Los niveles de las mareas, al deberse al tirón del Sol y la Luna, también describen este mismo ciclo de 18 años.

Este período ya era conocido varios siglos antes de Cristo por los astrónomos Babilónicos, y el conocimiento llegó a los sabios griegos y romanos de siglos posteriores.

Sincronización Tierra-Luna

Y ya para terminar, explicar el porqué de que la Luna siempre dé la misma cara a la Tierra (como hemos visto, esto es sólo de media). El hecho lo explica que el período de rotación sobre sí misma, y el de circunvalación alrededor de la Tierra tienen exactamente el mismo valor (el mes sideral), pero eso en sí no nos dice porqué ocurre tal cosa.

La verdadera razón viene de lo que se llama acoplamiento de mareas, y aunque pueda parecer una coincidencia caprichosa de la Luna, en realidad ocurre con casi todas las lunas grandes. Resumiéndolo mucho, el efecto de las mareas que la Luna ejerce sobre la Tierra acaba generando unas fuerzas que tienden a modificar su órbita, y el punto de estabilidad es precisamente el de sincronía de las dos rotaciones.

Si quieres leer más: 1 2 3 4

Fuente de las imágenes: 1 2 3 4 5 6

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Vídeo de la NASA muestra aumento de actividad solar 2009 vs. 2011

Se espera que el sol continúe aumentando su actividad (número de manchas solares) como parte de su ciclo habitual de ~11 años hasta llegar a un pico sobre el año 2013.

Para visualizar este incremento de actividad, el observatorio solar y heliosférico (misión SOHO de la NASA) ha publicado este vídeo que muestra el sol los días 27 a 28 de marzo de 2011 frente a su estado en 2009:

Ambas imágenes representan el canal ultravioleta. Las regiones que se ven brillar son manchas solares, zonas con un intenso campo magnético que exponen regiones más internas del sol (por eso el nombre de "manchas") y pueden generar intensas eyecciones de masa coronal.

Observaciones fiables durante más de 200 años han demostrado que la actividad solar, medida mediante la cantidad de manchas solares, parece seguir un claro ciclo de 10.7 años de media, aunque la dinámica interna de nuestra estrella continúa siendo un intenso campo de investigación.

Para terminar el post, os dejo esta estupenda imagen astronómica del día que muestra un primer plano de una mancha solar en un "día tranquilo":

Fuentes: 1 2

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Repostería vs. Geometría (WTF!)

No conocía este dulce de la marca DulceSol, pero mi cara al verlo fue un buen WTF!

Lee el nombre de la etiqueta. Sí, sí, se llama "triángulo crema":

La única excusa que se me ocurre es que se sobreentienda que hay que partirlo por la diagonal, pero aún así entonces serían dos triángulos. En fin, no le doy más vueltas, pero vaya tela jeje.

Edit 21:38: Gracias a Sara por encontrar la fuente oficial, que parece confirmar que la idea del fabricante es que cada paquete tiene DOS triángulos :-). Y con esto cierro uno de los posts más absurdos de la historia del blog, jejeje.

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Nuevo descubrimiento sobre el mecanismo de Anticitera y la predicción solar

El mecanismo o computadora de Anticitera, es uno de los objetos más sorprendentes de la antigüedad: una calculadora de exquisita precisión capaz de predecir las posiciones del sol y la luna para cualquier día del año.

Lo increíble del dispositivo es que se hundió en un barco hace 2000 años, y no sabemos a ciencia cierta nada sobre sus creadores. La cartografía de precisión probablemente se estancó más de 16 siglos al perderse el conocimiento que permitía crear dispositivos mecánicos tan precisos.

Sobre la historia completa del aparato, no puedo más que recomendar el excepcional artículo que Yuri escribió sobre él.

Radiografía de la computadora. Desde luego, nadie diría que es una pieza de tecnología de hace 20 siglos.

Hasta ahora, se sabía que el aparato fue diseñado teniendo en cuenta las variaciones de velocidad aparente de la luna en su órbita, debidas realmente a que la órbita es elíptica, no circular. Para modelar dicho efecto se usó un engranaje sobre otro engranaje que modificaba la velocidad de la luna en la manera justa.

En un reciente congreso en Seattle, el historiador de la ciencia James Evans presentó nuevos hallazgos sobre el dial del zodíaco que se puede ver sobre el artefacto.

A pesar del mal estado en que se encuentra, ha comparado las divisiones del zodiaco con las del calendario egipcio (ambas están en la máquina), y ha podido determinar que el diagrama zodiacal no está dividido en 12 zonas iguales sino que el centro estaba desplazado, como se ve en la figura:

De esta manera, el investigador ha determinado que el desplazamiento de la aguja que representaba al sol a lo largo del dial, aún realizándose a velocidad constante, tendría el efecto de tardar más en atravesar unas zonas del zodíaco que otras. De esta manera se emularía de manera exacta la aparente trayectoria elíptica del sol alrededor de la Tierra.

Hasta ahora, se pensaba que este efecto de aceleración y desaceleración del sol a lo largo de su órbita, mucho más sutil que el de la luna, no había sido tenido en cuenta en este artefacto, al no haberse encontrado un engranaje equivalente al extra usado para el movimiento de la luna.

Pero finalmente, parece que quienes fueran que construyeron la máquina, tenían unos conocimientos astronómicos que realmente estaban a años luz de los que heredaría Europa durante 15 siglos.

Me gustaría terminar con una reflexión personal que siempre me provoca la computadora de Anticitera: el conomiento se puede perder. Pueblos que tenían conocimientos de geometría, astronomía, matemáticas y mecánica tan sofisticados como los constructores de este aparato, no dejaron otro rastro. Nada sabemos de ellos. Ninguna otra máquina parecida ha sido encontrada hasta ahora, aunque el sentido común nos dice que debería haber más, como mínimo, de similar complejidad.

Al menos una gran parte del conocimiento de estos hombres y mujeres se perdió. Y con ellos, se perdieron unos 15-17 siglos de progreso. ¿Da que pensar, verdad?

Fuentes: 1

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Vídeo de la espátula robótica SWITL para repostería

La mano robótica SWITL de Furukawa usa una tecnología pendiente de patente para recoger cual espátula manchas o "pegotes" de cualquier ingrediente usado en repostería de los que, por ser demasiado delicado, normalmente se destrozaría al tocarlo.

En cambio, con esta espátula, no sólo se puede coger, sino... ¡volver a soltar totalmente intacto como si nunca se hubiese transladado!

Mejor ver el vídeo:

Fuente: 1

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Script MATLAB para generar ejercicios/exámenes diferentes para cientos de alumnos

Algunas veces hay que preparar ejercicios a realizar por alumnos en casa y cuya realización se evalúa, por lo que es deseable evitar (¡dentro de lo posible!) que se copien los resultados entre ellos. (*)

En muchos casos, sobre todo en ingeniería y ciencias, los problemas tendrán una serie de datos (que llamaré los parámetros del problema) de los cuales se pueden dejar unos fijos y variar otros. Por ejemplo, valores de una magnitud, la fórmula química de un compuesto, un método de resolución de entre un conjunto de posibilidades, etc.

Hoy voy a explicar una manera de decidir cuántos parámetros variar y de qué forma para asegurar que no existan dos ejercicios iguales, sin importar el número de alumnos.

Sea el número de alumnos N, y K el número de parámetros que queremos que varíen entre problemas individuales. Podría haber más parámetros, pero esos serán fijos y comunes para todos los alumnos.

Cada parámetro tendrá una serie de valores distintos. El primero tendrá n₁ valores, el segundo n₂ y el último n_K. La idea es acabar con un reparto de problemas según esta estructura:

¿Qué tienen que cumplir los valores {n₁,...,n_K}?

Si queremos que todas las filas de la tabla sean distintas, se pueden buscar varias combinaciones, pero la que he escogido aquí es que todos los {n₁,...,n_K} sean números primos. Las combinaciones se repetirán después del mínimo común múltiplo de los {n₁,...,n_K}, que al ser primos es directamente N_max= n₁ · n₂ · ... · n_K-1 · n_K. El objetivo es que N_max sea mayor o igual que el número de alumnos N.

En primera aproximación, todos los valores {n₁,...,n_K} deben estar en el orden de magnitud de:

n = N ^ (1/K)

Y como todos los {n₁,...,n_K} deben ser distintos, se puede usar n₁ igual al primo más cercano a n, n₂ igual al siguiente primo, y así sucesivamente. Esa sería una primera aproximación bastante conservadora. A partir de ahí, se puede ir retrocediendo de uno en uno a los primos más inferiores hasta que se encuentre la mínima secuencia de primos sucesivos {n₁,...,n_K} que cumpla que su producto es igual o superior a N, el número de alumnos.

En lugar de hacer todo esto a mano, ¡es más fácil usar un ordenador!. Por eso os dejo este script de MATLAB (compatible con Octave) que acepta dos argumentos. Invocándolo con:

repartoTareas(num_alumnos, num_parametros);

Dará una salida como esta:

Descargar script: repartoTareas.m

Espero que le sea útil a alguien más :-)

(*) Una cosa es que los alumnos trabajen juntos y se ayuden entre sí para hacer ejercicios, estudiar, etc. Eso es una cosa buena. Pero lo que no está bien es que se puedan casi fotocopiar los resultados entre sí sin necesidad de entender absolutamente nada de lo que están haciendo.

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