¿Hemos roto los números imaginarios? (Encuentra el error)

La unidad imaginaria “i” se define como la raíz cuadrada de “-1”:

Entonces, debería estar claro que si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tendríamos el valor de la unidad imaginaria al cuadrado:

Por otro lado, si expandimos el cuadrado de la izquierda por su valor según la definición de arriba y dado que el cuadrado es el producto de algo consigo mismo, tenemos:

y operando acabamos con:

Es decir, tenemos a la vez que  y que .

¿Nos engañaron con los números imaginarios y realmente no existen? ¿O hemos metido la pata en algún paso? ¿En cuál?  ¡Y no vale mirar los comentarios antes de darle al menos una pensada! 😉

¡El profesor Frink lo sabe! (fuente)

En el improbable caso de que nadie lo encuentre en un par de días, prometo comentarlo, “for the records“.

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Publicado en Matemáticas Etiquetado con:
  • INF

    A riesgo de equivocarme terriblemente:
    1^2 es igual a (-1)^2 por lo tanto, cuando se hace sqrt(1) al final de todo, no se especifica si se debe tomar la positiva o la negativa, de esta manera, sqrt(1)=1 y sqrt(1)=-1 a la vez. Sólo has elegido la solución positva 🙂

    • ¡Buen punto! Iba por otra parte de la cadena de razonamientos pero la tuya también es válida 🙂

  • una regla, quizá poco conocida, es que si dentro de una raíz hay dos factores, no pueden ser ambos negativos simultaneamente, es decir, no se puede aplicar la factorización sqrt(a*b)=sqrt((-1)a*((-1)b) ya que conduce a contradicciones.

    otra forma de proceder pdoría ser:

    i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(i^2)*sqrt(i^2)=sqrt(i^2*i^2)=sqrt(i^4)=i^2=-1 que es lo que corresponde y ya no hay contradicción.

  • El paso incorrecto es sqrt(x)*sqrt(y)=sqrt(x*y), debido a que cada número tiene dos raíces cuadradas, por lo que al hacer esa clase de simplificaciones se pierde información.

  • En complejos SIEMPRE hay 2 raíces cuadradas… cosa que en los reales no simepre es cierto.
    son los peligros de “jugar” a medio camino entre reales y complejos.

    • Como se notan las clases de cálculo de variable compleja que decías dabas este año 😉

  • El error está en que el producto en los reales no coincide con el producto en los complejos, ya que los complejos es un espacio bidimensional y el producto es: (a,b)*(c,d)= (ac-bd, ad+bc) por lo tanto se está multiplicando (0,1)*(0,1)= (0*1-(-1)*(-1),0*(-1)+0*(-1))=(-1,0)
    Un saludo
    Antonio A.

  • Bueno, añado enlace a la explicación que dieron en Gausianos hace tiempo:

    http://gaussianos.com/los-complejos-nos-dicen-que-1-1/

  • Potencias de la misma base (1/2) se suman los exponentes. Por lo que (-1)^(1/2+1/2)=-1^1=-1 Si hablamos solo del “número imaginario” sin especificar su forma, ya que casi todo el mundo confunde los números complejos con la forma binómica de los números complejos.

  • Anonymous

    Yo creo que es por el mismo motivo que el de las funciones multivaluadas en el caso complejo ya que tienes que poner el módulo y el argumento ya que i=e^(anguloInicial+nPi/(el orden de la raiz)). Esto nos da dos raices posibles porque se trata de una raiz compleja

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