¿Hemos roto los números imaginarios? (Encuentra el error)

La unidad imaginaria “i” se define como la raíz cuadrada de “-1″:

Entonces, debería estar claro que si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tendríamos el valor de la unidad imaginaria al cuadrado:

Por otro lado, si expandimos el cuadrado de la izquierda por su valor según la definición de arriba y dado que el cuadrado es el producto de algo consigo mismo, tenemos:

y operando acabamos con:

Es decir, tenemos a la vez que  y que .

¿Nos engañaron con los números imaginarios y realmente no existen? ¿O hemos metido la pata en algún paso? ¿En cuál?  ¡Y no vale mirar los comentarios antes de darle al menos una pensada! ;-)

¡El profesor Frink lo sabe! (fuente)

En el improbable caso de que nadie lo encuentre en un par de días, prometo comentarlo, “for the records“.

Share

Publicado en: Matemáticas Etiquetado con:
  • http://www.blogger.com/profile/08557461194987339073 INF

    A riesgo de equivocarme terriblemente:
    1^2 es igual a (-1)^2 por lo tanto, cuando se hace sqrt(1) al final de todo, no se especifica si se debe tomar la positiva o la negativa, de esta manera, sqrt(1)=1 y sqrt(1)=-1 a la vez. Sólo has elegido la solución positva :)

    • http://www.blogger.com/profile/04450377732634807411 José Luis Blanco

      ¡Buen punto! Iba por otra parte de la cadena de razonamientos pero la tuya también es válida :-)

  • http://www.blogger.com/profile/10011361923850008574 Pepe

    una regla, quizá poco conocida, es que si dentro de una raíz hay dos factores, no pueden ser ambos negativos simultaneamente, es decir, no se puede aplicar la factorización sqrt(a*b)=sqrt((-1)a*((-1)b) ya que conduce a contradicciones.

    otra forma de proceder pdoría ser:

    i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(i^2)*sqrt(i^2)=sqrt(i^2*i^2)=sqrt(i^4)=i^2=-1 que es lo que corresponde y ya no hay contradicción.

  • http://www.blogger.com/profile/08757837507801195912 Ñbrevu

    El paso incorrecto es sqrt(x)*sqrt(y)=sqrt(x*y), debido a que cada número tiene dos raíces cuadradas, por lo que al hacer esa clase de simplificaciones se pierde información.

    • http://www.blogger.com/profile/04450377732634807411 José Luis Blanco

      No me esperaba menos de tí ;-)

  • http://www.blogger.com/profile/00372267355157100826 Tito Eliatron

    En complejos SIEMPRE hay 2 raíces cuadradas… cosa que en los reales no simepre es cierto.
    son los peligros de “jugar” a medio camino entre reales y complejos.

    • http://www.blogger.com/profile/04450377732634807411 José Luis Blanco

      Como se notan las clases de cálculo de variable compleja que decías dabas este año ;-)

  • http://www.blogger.com/profile/11594540834216146022 Antonio A.

    El error está en que el producto en los reales no coincide con el producto en los complejos, ya que los complejos es un espacio bidimensional y el producto es: (a,b)*(c,d)= (ac-bd, ad+bc) por lo tanto se está multiplicando (0,1)*(0,1)= (0*1-(-1)*(-1),0*(-1)+0*(-1))=(-1,0)
    Un saludo
    Antonio A.

  • http://www.blogger.com/profile/04450377732634807411 José Luis Blanco

    Bueno, añado enlace a la explicación que dieron en Gausianos hace tiempo:

    http://gaussianos.com/los-complejos-nos-dicen-que-1-1/

  • http://www.blogger.com/profile/10598736153380758372 Francisco Javier Lendínez Tirado

    Potencias de la misma base (1/2) se suman los exponentes. Por lo que (-1)^(1/2+1/2)=-1^1=-1 Si hablamos solo del “número imaginario” sin especificar su forma, ya que casi todo el mundo confunde los números complejos con la forma binómica de los números complejos.

  • Anonymous

    Yo creo que es por el mismo motivo que el de las funciones multivaluadas en el caso complejo ya que tienes que poner el módulo y el argumento ya que i=e^(anguloInicial+nPi/(el orden de la raiz)). Esto nos da dos raices posibles porque se trata de una raiz compleja

Recibir por correo electrónico:

Varios

Naukas   Mapping Ignorance