La indeterminación sostiene el mundo

En este post intentaré demostrar que el principio de indeterminación sostiene el mundo.

Por muy importante y trascendente que sea este hecho, la verdad es que casi nunca se menciona en ningún medio de divulgación…. bueno, sin contar a Sheldon, que como siempre tiene razón en todo:

«Si la constante de Planck cambiese solo un poco…¡¡BOOM!!»

Vayamos por partes.
El principio de indeterminación dice que para una partícula, la indeterminación de su posición y de su momento lineal (se puede imaginar como la velocidad) son inversamente proporcionales: si la posición está muy bien definida, la velocidad no lo está, y viceversa.

Esto se puede expresar más matemáticamente con la famosa fórmula (incluso aparece en una portada de un disco):

Donde Δx es la indeterminación de la posición (x) y Δp la del momento lineal (p). Otra cosa que casi nunca se menciona, es que Δx en realidad se refiere a la desviación estándar de la distribución de probabilidad que sigue x. Es decir, la fórmula tiene un significado matemático preciso y muy bien definido. Aunque el concepto en sí de distribución de probabilidad da para mucho debate filosófico.

Aquí vemos entrar en el juego a la constante de Planck, h, aunque aquí usaremos ℏ (hache barra) por comodidad:

Antes de seguir, hay que dejar muy claro que el nombre correcto es el de Principio de indeterminación, no como muchas veces se le llama, de incertidumbre.
En ambos casos, los modelos matemáticos son distribuciones de probabilidad, pero las diferencias conceptuales son enormes: la realidad no es que haya incertidumbre en nuestro conocimiento sobre la partícula, sino que la partícula… no está en ningún sitio concreto. La indeterminación es real, tanto en posición como en velocidad, independientemente de que nosotros sepamos algo de ello.

Para acabar de digerir ésto, imaginemos un electrón dentro de una caja bastante grande. Como sabemos con seguridad que no puede salir de la caja, tenemos acotada su incertidumbre de posición (Δx) y por el principio de indeterminación, su velocidad tendrá un mínimo (Δp), aunque pequeño. Esto se ve en la izquierda:

Ahora, conforme hacemos la caja más pequeña (a la derecha), reducimos Δx y por lo tanto Δp aumenta y aumenta: el electrón se pone nervioso por estar encerrado. Esto ocurre realmente y afecta a cualquier objeto. Incluso tu mismo tienes una velocidad mínima por estar entre cuatro paredes ahora mismo, aunque es tan ridículamente pequeña que es imposible detectarla. De hecho, en el caso del electrón si se reduce suficientemente la caja, acabará saliéndose de ella, aunque sea «físicamente» imposible. Esto se llama túnel cuántico.

Sigamos con esta imagen mental del electrón que se pone nervioso al reducirse su espacio vital Δx, ya que viene muy bien para seguir en la demostración de que esto mismo mantiene la materia tal y como la conocemos.

Queremos demostrar qué papel juega el principio de indeterminación en el átomo, por lo que usaremos el más simple: un nucleo de un solo protón (p+) y un electrón (e-) «orbitando» a su alrededor a una distancia r:

Como sabemos, el protón (positivo) atrae al electrón (negativo). La cuestión clave en todo el argumento es: ¿Porqué el electrón no se cae hacia el protón? En teoría, tiene todas las papeletas para «caerse» debido a esa atracción. Además, si el mecanismo fuera parecido al de órbita de los planetas en el sistema solar, cada electrón podría orbitar a distancia arbitraria, pero experimentalmente se sabe que todos lo hacen a una misma distancia. ¿Porqué?

La explicación, en palabras, es sencillamente que en cuanto el electrón empieza a «caer» a una orbita muy baja, por el mismo mecanismo que hablamos arriba, se «pone nervioso» y…¡su velocidad aumenta, alejándose del nucleo!. Es decir, hay una distancia mínima a la que se puede orbitar, y esta la fija el principio de indeterminación.

La argumentación matemática nos depara un resultado muy curioso (animo al lector que le tenga miedo a las matemáticas a que intente seguir porque no es nada complicado).

Si calculamos la energía del electrón, tenemos que sumar la parte de energía cinética («lo rápido que va») con la potencial (la «capacidad» de moverse al caer hacia el nucleo), teniendo:Como aproximación tosca al problema, ahora podemos hacer Δx≈r, Δp≈p, lo que tiene sentido ya que tanto velocidad como posición están centrados en cero. Ahora, del principio de incertidumbre podemos hacer ΔxΔp≈ℏ, y así Δx≈ℏ/Δp≈ℏ/p, con lo que la formula anterior queda:

Y podemos buscar el estado de mínima energía, derivando e igualando a cero, con lo que tenemos el momento lineal de ese minimo al que la Naturaleza siempre tiende (cuando se la deja tranquila):

Y el valor del radio orbital del electrón nos queda:

Curiosamente, esta fórmula coincide exactamente con la predicción clásica (es decir, pre-mecánica cuántica) hecha por Bohr en 1913, y que dice que el electrón orbita a 0.53 Å de distancia del nucleo (en un átomo de Hidrógeno con un solo electrón).

Por lo tanto, hemos visto como la indeterminación obliga al electrón a no caerse, y así es la «fuerza» que evita que la materia colapse sobre sí misma.