El origen de la Teoría de Probabilidades…incluyendo el problema resuelto

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La teoría de probabilidades tuvo un origen más bien poco altruista y sí bastante mundano: ¡se debió a un intenso debate sobre como ganar en las apuestas!.

Todo empezó en 1654 cuando el francés Antoine Gombaud se interesó por las reglas matemáticas de un antiguo juego, y en eso consiguió que el también matemático y paisano suyo Blaise Pascal (en el retrato de la derecha) se intrigara por el tema.

El juego en cuestión es muy simple en apariencia:

Tirar un par de dados 24 veces, y apostar por si saldrá o no, al menos un seis doble.

Las historias cuentan que este problema motivó una serie de cartas entre Pascal y el parlamentario (y matemático amateur) Pierre de Fermat en las que por primera vez en la historia se empezaron a hilar los principios básicos de las probabilidades, que serían después recopiladas y publicadas en 1714 por Huygens.

Pero… ¿qué tenía de especial el juego de los dados?
Bien: según los cálculos de algunos jugadores de la época, se debería apostar a que saldría al menos un seis doble… pero esos cálculos eran erróneos y evidentemente a la larga los seguidores de esa idea perdían dinero y era comprensible que quisieran entender porqué.

Usando lenguaje moderno, lo que se está intentando calcular forma parte de una distribución de probabilidad Binomial, donde un experimento (lanzar los dos dados) se repite N veces (N=24), y queremos saber las probabilidades de tener éxito un número determinado de veces. Esta probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad p de éxito en cada uno de los lanzamientos, que es fácilmente calculable ya que tenemos 1 posibilidad de éxito (seis doble) entre las 6×6=36 posibilidades, luego p=1/36.

Y… ¡voilá! Estos son los números que tanto debate trajeron en el siglo XVII:

(Click para ampliar. Elaboración propia)

En el eje horizontal están representados los eventos de sacar 0,1, 2, …. hasta 24 veces un seis doble en las 24 tiradas. Evidentemente, sacar más de 4 seis dobles tiene una probabilidad ridícula y por eso aparece como (casi) cero.

Pero lo interesante está en el valor para sacar ninguna vez un seis doble: ¡¡0.5086!!. Sí, por poco, pero es mayor de 0.5 lo que quiere decir que, a la larga, lo más ventajoso es apostar por que no saldrá ningún seis doble.

Lo que me intriga es: ¿quién idearía este juego? Porque si en lugar de 24 tiradas pasamos a 25, las probabilidades se vuelven ya ligeramente a favor del sí… el número 24 estaba muy pero que muy bien pensado.

Probabilidades como conjuntos

Una de las formas de visualizar probabilidades, es usando la notación gráfica de «conjuntos» que seguramente a todos nos recuerda los años del colegio, y que de hecho es la base del formalismo «moderno» de las Probabilidades formulado en 1933 por el matemático ruso Kolmogorov:

(Imagen: Charla CERN-Fermilab, Slides de Bob Cousins)
La probabilidad de que ocurra el evento A, o P(A), se puede obtener como el área que ocupa A con respecto a todo el espacio rectangular. Siguiendo esta magnífica ilustración, se llega incluso a derivar la regla de Bayes (la última fórmula en rojo).

Si el tema os gusta tanto como a mí, ¡echar unos minutos analizando despacio cada elemento de la gráfica y no será tiempo perdido!


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