Lo que la teoría de probabilidades nos aconseja hacer en la Lotería de Navidad

(Actualización para el año 2011)

Todos sabemos que hay muy pocas posibilidades de ganar cualquier premio en la Lotería de Navidad, pero ¿qué tiene que decirnos la teoría de decisión basada en probabilidades sobre el juego? ¿Qué nos recomendaría hacer? ¿Es mejor comprar muchos números, o pocos? Como no hay muchos matemáticos paseando con puros y sombreros de bombín, podemos imaginarnos el resultado, pero veámoslo paso a paso de todas formas…

La teoría de decisión es el conjunto de métodos matemáticos que intentan encontrar políticas óptimas a determinados problemas o juegos. En el caso de la lotería, la única decisión que podemos tomar es: ¿cuántos décimos distintos compro? (se puede demostrar que comprar más de uno del mismo número no mejora nada, pero no contaré esa parte).

Empezamos sacando el listado de todos los premios (en PDF aquí). Los datos básicos son:

Números distintos: M=85.000
Precio del billete: b=200€
Número de billetes distintos que se compran = N
Cantidad de euros de cada uno de los premios: Q₁,Q₂,Q₃,…

Para cada premio «i«, al tratarse de un caso de muestreo sin reemplazo, es muy fácil calcular la probabilidad «p_i» de que te toque su valor en euros (Q_i) si tienes N billetes comprados:

p_i=N/M

(Si se tratase de un caso con reemplazo, se calcularía de otra forma). Ahora, usando la esperanza matemática, se puede calcular cuanto se espera ganar de parte de cada premio:

Q_i · p_i= Q_i · N/M

Si sumamos para todos los premios «i» (i=1 para el gordo, i=2 para el segundo premio,… hasta los reintegros), obtenemos la esperanza matemática de todos los premios que puedo ganar:

Es decir: la esperanza matemática de las ganancias son (asumiendo la aproximación de siempre ;-):

G(N) = 11.484.800 € · N/M

Está claro que cuantos más billetes se compren (N más grande), las expectativas de lo que se va a ganar crecen.

Pero por supuesto, ¡también hay que pagar por cada billete que se compre! De hecho, tienes que comprar billetes por un coste total de:

C(N) = b · N = 200€ · N

Si restamos G y C tenemos el beneficio que saco de jugar:

B(N) = G(N) – C(N) = N · ( 11.484.800 € /M – 200€)

Y aquí se ve claro el quid: como se venden M=85000 números distintos… el factor que multiplica a N queda negativo:

B(N) = -N · 64.88 €

En palabras: por cada billete de 200€ que compre, puedo esperar perder casi 65€. O viendo el vaso medio lleno en lugar de medio vacío, por cada 200€ que juegue puedo esperar recuperar 135€.

¿Cuál es el óptimo entonces? Sencillamente… no jugar: es el único caso en que no se pierde. Cualquier otro movimiento tiene todas las esperanzas matemáticas de salir perdiendo.