Las dos maneras equivalentes de escribir los dígitos de un número

¡Compártelo!
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Estamos acostumbrados a ver precios que casi, casi llegan a un valor entero, como 5.99€. Al menos en ese caso si pagas con 6€, (en teoría) te devolverían 1 céntimo. ¿Pero qué pasaría si el precio fuera de 5,99999….€ con infinitos nueves?
Como veremos en el post de hoy, se puede demostrar matemáticamente que ese número y el 6 son el mismo. No es que estén “infinitesimalmente cerca”, no, no es eso: es que son las dos formas válidas de escribir el número 6.
Si no te lo crees así de sopetón, como es la reacción más normal, aquí va la primera demostración. Primero, podemos separar 5,999999…. en dos partes:
5,9999…. = 5 + 0,9999…..
Ahora, dividimos y multiplicamos el segundo sumando por 3:
= 5 + 0,9999…. * (3/3)
= 5 + 0,3333…. * 3
Y nadie dudará de que 0,33333…. (con infinitos treses) es igual a 1/3, por lo que:
= 5 + (1/3) * 3
que es exactamente igual al número 6:
= 5 + (1/3) * 3 = 5 + 1 = 6

Resumiendo: 5,9999…. con infinitos nueves no se puede distinguir, ni siquiera en lo más infinitamente pequeño, del número 6.
Ésta es una propiedad sorprendente que simplemente quiere decir que existen dos formas de escribir muchos números, ya que no es un caso particular que sólo ocurra con el número 6.
De hecho, si observas el razonamiento que he seguido arriba, podríamos hacer exactamente lo mismo con cualquier otro número entero N sustituyendo el 5 por un N-1. Y dividiendo todo por 10 elevado a la potencia correspondiente se puede generalizar para cualquier número con un número finito de decimales.
La propiedad no se puede aplicar, en general, para cualquier número real ni tan siquiera racional, pero sí que se puede extender a cualquier otro sistema de numeración distinto del decimal. Obviamente, en un sistema de base b, en lugar de nueves, los dígitos que se repiten infinitamente serán el b-1. Como ejemplo, para números en base binaria (los usados por los ordenadores), tenemos que el número:
110(2
(dónde el (2 indica que es un número binario), es idéntico al:
101.11111111111…… (2
Para demostrar este caso voy a echar mano de otra demostración distinta a la de arriba: multiplicar por b (un 2 en este caso, 10 si fuese sistema decimal) y a dicho valor restar el número original:
x = 101.111…(2
10(2 x = 1011.111…(2
10(2 x – x= 1011.111…(2 – 101.111…(2 —>
1(2 x = 110(2 —>
x = 110(2 —>
101.111…(2 = 110(2
De nuevo, esta demostración también funciona en base 10 o en la que queráis probar.
Y para terminar, la demostración que más me gusta, que hace uso de un resultado conocido de sumas de series geométricas, aquel que dice que la suma de los infinitos términos:
r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + ….
es igual a r/(1-r), siempre que |r| < 1.
Pues bien, si expresamos la representación de un número decimal como:
a.b1b2b3b4b5…..
su valor numérico viene dado simplemente por el valor de cada uno de sus dígitos, ponderado por el “peso” del lugar que ocupa:
= a + b1 (1/10)1 + b2 (1/10)2 + b3 (1/10)3 + b4 (1/10)4 + ….
Para el caso de un número terminado en infinitos nueves vemos que todos los términos “b” son iguales a 9, y el valor del número es el resultado de sumar los infinitos términos de:
= a + 9 [ (1/10)1 + (1/10)2 + (1/10)3 + (1/10)4 + ….]
Pero lo que va dentro de los corchetes no es más que una serie geométrica de coeficiente r=1/10, por lo que su suma vale r/(1-r) = 1/9, que reemplazando arriba:
= a + 9 (1/9) = a + 1
Lo que demuestra que, entre otras infinitas posibilidades, 5.9999…… es exactamente igual a 6.
Si aún tras todas estas pruebas te sientes escéptico, probablemente sea por la engañosa similitud del concepto de “infinitos nueves decimales” al de “un número de nueves que tiende a infinito”. Ojo, que un “5 con k nueves decimales” sin duda tiende a 6 cuando k tiende al infinito, pero nunca lo alcanza. Por contra, un “5 con infinitos nueves decimales”, es exactamente 6.
¡Espero que os haya entretenido!
Para leer más: 1

¡Compártelo!
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Etiquetado con: