Aunque dX tienda a infinito, su valor no es 0, por muy infinitamente pequeño que sea.

@Robertus: Dichas demostraciones de 2=1, etc… siempre acaban usando cosas como dividir ambos lados de la ecuación por 0. En las demostraciones de arriba en ningún momento se hace nada contrario al razonamiento matemático más estricto.

El razonamiento que haces con dX tienen sentido. Y cuando el número de digitos tiende a infinito, dX tiende a cero. Pero el quid de la cuestión es que 0.3^ (periódico) implica INFINITOS decimales, y por lo tanto dX=0 exactamente.

No sé de qué otra forma exponerlo ya 🙂

@Jafma: Ya te digo…

(Yo ya lo sabía en las cosas no científicas, como la mierda la política y eso… ¡pero en aritmética!)

Yo sigo pensando que no se puede decir que 1/3 y 0.3^ sean lo mismo.

La forma que tenemos de expresar los números periódicos no es la exacta, dado que:

(1/3)*3 = 0,9^ + dX = 1
siendo dX un diferencial de valor infinitamente pequeño.
Luego 0.9^ = 1 – dX

Podemos decir que que 0.9^ y 1 son iguales? En la práctica sí podemos, pero no es realmente así.

Aquí va otra demostración, a la que espero que no le pongáis pegas:

Podemos definir 0’3 periódico como 0’3+0’03+0’003… esto es, 3·10^(-1) + 3·10^(-2) + 3^10(-3) + …

Si expresamos esta suma como una serie numérica, tenemos la serie geométrica 3·10^(-n) con n desde 1 hasta infinito. Como es bien sabido, la suma de una serie geométrica es igual al primer término dividido por uno menos la razón. En este caso, la razón es (3·10^(-(n+1))) / (3·10^(-n))=10^(-1). Por lo tanto la suma de la serie será igual a 3·10^(-1)/(1-10^(-1)), que es igual a 1/3.

Como así está un poco feo, te dejo la demostración más clara en un pdf: http://www.adrive.com/public/4e2e3b65a7843d0f759148fc8ad4dcd493d4f9dbc0aab604400d94e157eb4c08.html.

@Guillermo: De verdad que me intriga los que estáis tan convencidos de que 0.333… != 1/3.
En mi comentario de arriba os pongo DOS demostraciones distintas. O rebatís qué veis mal en la demostración o aportáis alguna demostración de que NO sean iguales, sino, es hablar por hablar, pero lo siento no lleváis razón… ¡que en matemáticas es en las pocas cosas en las que esto puede decir tajantemente!

El error está simplemente en que

«los números reales que usan los matemáticos no se corresponden biunívocamente con las sucesiones de longitud infinita de las cifras {0,1,…,9}».

Mucha gente tiene la impresión, de su época escolar, que hay dicha correspondencia pero esto no es cierto (técnicamente, para un matemático un número real es simplemente un elemento del único cuerpo ordenador, arquimediano y completo). Así pues, los dos hechos siguientes son ciertos (y esto no es contradictorio):
1. Las sucesiones 5,9999… y 6,0000… son dos sucesiones diferentes.
2. Los números reales a los que se refieren las sucesiones 5,9999… y 6,0000… son el mismo número real.

Prueba 1:

x = 0,3^
10x = 3,3^
10x-x = 3,3^ – 0,3^ = 3
9x = 3
x = 3/9
x = 3/(3*3) = 1/3 –> 0,3^ = 1/3

Prueba 2: Como han dicho en menéame, por inducción usando cualquier método de división.

¿Sigues sin creerlo? 🙂