Realimentación positiva y estabilidad: un simplista modelo matemático de "los mercados"

Esta mañana el diario español El Mundo abría con el titular «La euforia de los mercados…» que apenas unas horas después ha tenido que cambiar a «La cautela se abre paso…». ¿Cómo puede ser que algo tan complejo como «los mercados» sea tan volátil? La respuesta es sencillísima en términos matemáticos y de estabilidad de sistemas: realimentación positiva.

En el artículo citado arriba, se dice textualmente (y es una interpretación común en la prensa):

El resto de las principales plazas del Viejo Continente amenecían en rojo, pero poco a poco se han contagiado del entusiasmo en los países periféricos.

Ese es el problema: tenemos unos sistemas cuyas salidas (valores de las acciones, prima de riesgo de la deuda, etc.) son usados por los especuladores como base para actuar en la misma dirección. Que la bolsa baja, normalmente se vende y con eso la bolsa baja más. Que sube, se compra y con eso sube aún más. Pánico. Entusiasmo. Obviamente no todo el mundo hace eso, pero es una simplificación suficiente para lo que quiero contar hoy.

Sobre la realimentación positiva, se dice en la Wikipedia muy descriptivamente:

La realimentación positiva lleva normalmente a divergencias exponenciales o al crecimiento exponencial de oscilaciones. Bajo realimentación positiva y en ausencia de fuerzas estabilizadoras, los sistemas normalmente se aceleran hacia zonas no lineales, que bien pueden estabilizarlos o destruirlos.

Siempre que veo una gráfica de la cantidad de dinero que se mueve en los mercados financieros internacionales o de las deudas nacionales pienso que, al ya ser los sistemas financieros reales fuertemente no lineales, la única opción que queda es una «destrucción» del sistema o un «cambio de régimen de funcionamiento». Vamos, lo que se empeñan en llamar «crisis cíclicas» y que no son más que consecuencias inevitables de sistemas realimentados positivos sin estabilizar.

Deuda nacional de EEUUA (fuente)

Como pequeña demostración, veremos unas simulaciones de dinámica de sistemas con sistemas realimentados (extremadamente simples). Para entender las matemáticas haría falta conocer algo de transformadas de Laplace y diagramas de Bode o diagramas de polos-ceros, así que pasaré de las ecuaciones y mostraré solamente figuras.

El primer sistema consta de una fuente de señales aleatorias (izquierda del todo) que modela órdenes de compra/venta «de fondo» que siempre existirán independientemente del estado de la economía. Estas órdenes pasan por una función de transferencia (la cajita de arriba) que representa un filtro paso bajo, que es como podría modelarse la reacción de los mercados ante órdenes de compra y venta. Pero esa salida, vuelve por abajo pasando por otro filtro un poco más complejo que modela cómo los especuladores, viendo el panorama, dan nuevas órdenes de compra (+) o venta (-). La clave está en ver que estas órdenes se suman con signo negativo (realimentación negativa) a las órdenes de compra/venta aleatorias de fondo.

El resultado se ve en la derecha: pequeñas oscilaciones en el mercado, como es lógico por ser un sistema con entrada aleatoria.

Pero el mundo real no funciona así. Los inversores, precisamente cuando todo va bien tienden a comprar, y viceversa. Entonces cambiamos el signo del sumador de la izquierda y ahora tenemos realimentación positiva.

El efecto en la estabilidad del mercado queda bastante claro, no necesita palabras.

Cambiando ligeramente los parámetros del sistema realimentado positivo se llega fácilmente a exponenciales que tienden a infinito, lo que sería un sistema matemáticamente inestable que no puede existir en la práctica ya que siempre se llega a un punto en que los parámetros del sistema vuelvan a cambiar (e.g. la «percepción de la economía» cambia). Pero está en la naturaleza de este tipo de sistemas el ser inestables.

¿Cómo se estabiliza un sistema así? Las matemáticas tienen la receta: añadir polos a la función de transferencia de realimentación (la que representa a los especuladores). Y añadir un polo significa hacer algo que impida que se pueda especular tan fácilmente; añadir algún tipo de traba que haga que cada compra o venta se pensase mucho más. Regular los mercados.

La tasa Tobin sería un buen ejemplo de un nuevo polo en la transformada de Laplace 😉