Teoría de probabilidades y lotería de Navidad: 2011 vs. 2010

¿Merece más la pena jugar a la lotería este año que en el 2010? Hace un año analizábamos qué nos recomendaba hacer la teoría de probabilidades en el sorteo de Navidad. La respuesta obvia era no jugar, y más concretamente, que de cada décimo de 20€ comprado podíamos esperar perder 6€ de media.

Pero este 2011 han cambiado los parámetros así que repetimos las cuentas a ver si ha mejorado o empeorado la situación. Los datos sobre el sorteo los he sacado de este dossier de prensa (PDF) – que por cierto, me ha costado bastante encontrar en una web diseñada… bueno, regular.

La conclusión, para los impacientes:

En 2011 obviamente se repite la «recomendación» de no jugar. Pero en comparación con 2010, se puede ganar un poco más a cambio de que sea ligeramente más probable que lo pierdas todo. Esto quiere decir que el premio estará algo más repartido.

Y ahora las cuentas. Los nuevos datos de 2011 son:

Números distintos: M=100.000 (Fueron 85.000 en 2010)
Precio del billete: b=200€ (Igual que en 2010)
Número de billetes que se compran = N
Cantidad de euros de cada uno de los premios: Q₁,Q₂,Q₃,…

Para cada premio «i«, al tratarse de un caso de muestreo sin reemplazo, es muy fácil calcular la probabilidad «p_i» de que te toque su valor en euros (Q_i) si tienes N billetes comprados:

[ p_i = frac{N}{M} ]

Si se tratase de un caso con reemplazo, se calcularía de otra forma. Ahora, usando la esperanza matemática, se puede calcular cuanto se espera ganar de parte de cada premio:

[ Q_i p_i = Q_i frac{N}{M} ]

Si sumamos para todos los premios i (i=1 para el gordo, i=2 para el segundo premio,… hasta los reintegros), obtenemos la esperanza matemática de todos los premios que puedo ganar:

Es decir: la esperanza matemática de las ganancias son (asumiendo la aproximación de siempre ;-):

[ G(N) = 14.000.000 € frac{N}{M} ]

Está claro que cuantos más billetes se compren (N más grande), las expectativas de lo que se va a ganar crecen.

Pero como por otro lado hay que pagar por cada billetes, por un coste total de:

[ C(N) = b N = 200€ N ]

al restar G y C tenemos el beneficio que saco de jugar:

[ B(N) = G(N) – C(N) = N · ( frac{14.000.000 €}{M} – 200€) ]

Y aquí se ve claro el quid: como se venden M=100.000 números distintos… el factor que multiplica a N queda negativo:

[ B(N) = -N · 60 € ]

En palabras: por cada billete de 200€ que compre, puedo esperar perder 60€. O siendo positivos, por cada 200€ que juegue puedo esperar recuperar 140€.

La recomendación que nos hace la estadística, por lo tanto, es sencilla: no jugar, por ser el único caso en que no se pierde.¿Y qué pasa en comparación con el año 2010?

El año pasado, las mismas cuentas arrojaban una pérdida de 64,88€ por cada 200€ (¡el post del año pasado contenía un error!) 60€ por cada 200€. Así que desde el punto de vista de la media no hay ninguna diferencia.

Que de cada décimo de 20€ perdamos 6€ parece bastante optimista, ¿no? Lo cierto es que el valor medio es bastante engañoso, ya que la desviación estándar asociada a la ganancia es enorme: 4.225.524,81€. Es decir: la media prácticamente no nos da ninguna información al ser la distribución de probabilidad de las posibles ganancias tan dispersa.

En cambio, da más información ver las probabilidades de obtener cada uno de los premios:

O en texto:

Es decir: el premio gordo es tan grande, que distorsiona la media. Por eso quizás es más ilustrativo, en lugar de pensar que sólo vamos a perder 6€ de cada 20€, que con un 84,7% de probabilidad vamos a perderlo todo.

En comparación, el año 2010 había un 84,3% de perderlo todo, por lo que desde este punto de vista, este año 2011 se tienen (ligeramente) más probabilidades de perder todo lo jugado. Como decía arriba, esto está compensado por otro lado mediante la concentración en un gordo de mayor cuantía.

Un último comentario: Sólo existe una probabilidad del 5,305% de recuperar más de lo que se gasta en cada uno de los décimos comprados. Alguien podría pensar que entonces, comprando 20 décimos, como 20*5.3% es aproximadamente un 100%, estaría asegurándose salir ganando. Como casi ningún matemático es rico, debemos deducir que esto no es así, pero dejo al lector que piense el porqué 😉