¿Hemos roto los números imaginarios? (Encuentra el error)

La unidad imaginaria «i» se define como la raíz cuadrada de «-1»:

\( i = \sqrt{-1} \)

Entonces, debería estar claro que si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tendríamos el valor de la unidad imaginaria al cuadrado:

\( i^2 = \left( \sqrt{-1} \right) ^2 = -1 \)

Por otro lado, si expandimos el cuadrado de la izquierda por su valor según la definición de arriba y dado que el cuadrado es el producto de algo consigo mismo, tenemos:

\( i ^2 = \sqrt{-1} \sqrt{-1} \)

y operando acabamos con:

\( i ^2 = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 \)

Es decir, tenemos a la vez que \( i ^2 = 1 \) y que \( i ^2 = -1 \).

¿Nos engañaron con los números imaginarios y realmente no existen? ¿O hemos metido la pata en algún paso? ¿En cuál?  ¡Y no vale mirar los comentarios antes de darle al menos una pensada! 😉

¡El profesor Frink lo sabe! (fuente)

En el improbable caso de que nadie lo encuentre en un par de días, prometo comentarlo, «for the records«.