Una de física: la rueda y el suelo

¿A qué velocidad se mueve la rueda de un vehículo con respecto al suelo? A algunos alumnos de ingeniería les extraña el hecho de que haya puntos de la rueda que estén estáticos (quietos), así que creo que merece la pena dedicarle al tema esta entrada.Primero, veamos un vídeo a cámara lenta de una rueda en contacto con el suelo. En este caso, de un tren de aterrizaje justo tras tocar tierra:

Vemos claramente dos fases:

Rodadura con deslizamiento: la rueda rota y se arrastra sobre el suelo, a la vez. Vamos, lo que llamamos derrapar.
Rodadura pura: es el modo de rodar para el que están diseñadas las ruedas, engranajes, etc. No existe derrape, y la distancia recorrida en una vuelta completa coincide con la longitud de la circunferencia de contacto de la rueda con el suelo.

Es dentro de ese modo normal de funcionar, la de rodadura pura, donde ocurre que la velocidad relativa de algunos puntos de la rueda con respecto al suelo es de exactamente cero. Para quienes no se lo crean, aquí van un par de demostraciones.

1. Demostración matemática

Imagina una rueda girando libremente alrededor de su eje, a una velocidad angular constante de ω. Fijémonos en el punto de la circunferencia que queda en el extremo derecho y veamos cómo se mueve tras un tiempo Δt:

Hemos marcado como L la distancia que ha recorrido, siguiendo un arco de circunferencia de ángulo θ. Ese ángulo claramente será θ = ω Δt, ya que la rueda gira a velocidad constante. Por otro lado, si la rueda tiene un radio de R, la longitud del arco vale L = R · θ.De estas expresiones podemos calcular fácilmente la velocidad lineal (v) a la que se mueve ese punto (o cualquier otro) de la cara externa de la rueda, ya que:

\( \begin{array}{rcl} L&=& v \Delta t \rightarrow v = \frac{L}{\Delta t} \\ L &=& R \theta = R \omega \Delta t \rightarrow \frac{L}{\Delta t} = R \omega \end{array} \)

\( \longrightarrow v = R \omega \)

Conocido el módulo, sólo queda definir la dirección del vector velocidad en cada punto. Es fácil ver que esta será tangencial a la circunferencia en cada punto, y en el sentido del giro de la rueda. Por ejemplo, para los puntos inferior y superior tenemos:

Pues bien: estas velocidades son las de los puntos del exterior de la rueda, con respecto al centro de la rueda. Son, como todas las velocidades en mecánica clásica, relativas a un sistema de referencia dado, que hay que especificar.

Cojamos ahora esa misma rueda, aún girando, y coloquémosla sobre un suelo sobre el que va a rodar sin deslizamiento. Esta condición implica, necesariamente, que el centro de la rueda se mueva a una velocidad de v = R ω en relación al suelo:

Finalmente, para averiguar la velocidad de un punto de la rueda con respecto al suelo (V_c.r.suelo) hay que componer vectorialmente su velocidad relativa con respecto a la rueda (V_relativa) con la de la rueda con respecto al suelo (V_rueda):

\( \vec{\mathbf{V}}_{c.r.suelo}=\vec{\mathbf{V}}_{rueda}+\vec{\mathbf{V}}_{relativa} \)

Fijándonos en el punto inferior de la rueda en la figura, vemos que ambas componentes tienen sentidos opuestos, por lo que la velocidad relativa final se convierte en una resta:

\( V_{c.r.suelo}=V_{rueda}-V_{relativa}=\underbrace{v}_{R_\omega}-R_\omega=0 \)

Con lo que se demuestra que el punto de la rueda que en cada momento esté en contacto con el suelo está instantáneamente estático con respecto a éste.

2. Demostración «experimental»

Esta distinción entre rodar y deslizar se puede sentir físicamente, ayudando a interiorizar la idea.

Como muy bien ilustran en el siguiente vídeo, puedes coger algo con forma esférica o cilíndrica (p.ej. una botella) y comparar lo que sientes al pasarlo rodando por encima de tu mano con lo que se nota al pasarlo arrastrando… ¿en qué caso el punto de contacto es localmente estacionario? Se nota, ¿verdad? 😉

(Licencia CC, Créditos: UNSW)