Matemáticas viejunas: pasos de gigante del pasado

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Los escribas egipcios de hace 3300 años eran unos cachondos. En vez de chistes de Lepe, tenían a un escriba ficticio (¡esperemos que lo fuese!) llamado Amen-em-opet del que se mofaban en unas cartas satíricas que los estudiantes copiaban como ejercicio. Un hipotético rival llamado Hori reprende al primero por ser un jeta y un incompetente como jefe:

Papiro Anastasi I – AN433611001 © Trustees of the British Museum

Dices tú: “soy el escriba que da órdenes a los reclutas“. Has dado a excavar un depósito. Pero vienes a mí a indagar de las raciones de los soldados y me dices: “calcúlamelas”. Abandonas tu cometido y haces recaer en mí la carga de enseñártelo.

Tú eres el hábil escriba que encabeza a los reclutas. Se debe construir una rampa de 730 codos de longitud y 55 codos de anchura, conteniendo 120 compartimentos y rellena con carrizos y estacas… Los generales preguntan la cantidad de ladrillos requerida, y los escribas están reunidos, sin que ninguno de ellos sepa nada. Ellos ponen en tí su confianza, diciendo: “tú, que eres el escriba hábil, amigo mío… Respóndenos, ¿cuántos ladrillos se necesitan?

~1300-1060 a.C.
(Papiro Anastasi I[3,4,5]. Traducción a español de [5])
¿Qué cálculos necesitaban hacer los “jefes de obra” de estas construcciones únicas? (créditos)

La carta sigue quejándose de otro par de problemas de cálculo que el escriba famosete no sabía resolver. En realidad, parte de la “broma” está en que ninguno de los problemas da todos los datos necesarios para resolverlo, por lo que no tienen solución.

Pero leyendo entre líneas, esta carta nos dice algo más: los escribas de la época veían como tema de burla el no saber resolver una serie de problemas de multiplicaciones, divisiones o cálculo de volúmenes y áreas, luego daban ese conocimiento como algo bien conocido (entre los “eruditos”, claro).

Existen sistemas de escritura para números desde muy antiguo. De hecho, se cree que su origen está ligado al origen (¿simultáneo?) de las civilizaciones y la religión: los dueños de los templos serían los primeros núcleos de poder, y entre sus tareas estaría la recaudación de tributos, cálculo de reparto de tierras de cultivo, etc. lo que requería un registro por escrito y el dominio de las operaciones matemáticas básicas.

Pintura de la tumba de Neferetiabet en Giza (~2590-2565 a.C). Aparecen muchos números egipcios. Por ejemplo, usando las tablas de abajo verás que no se quedaban cortos pidiendo, para la otra vida, mil jarras de cerveza (el segundo dibujo debajo de la mesa por su parte derecha, y el símbolo 1000 está debajo). ¡La eternidad es muy larga!  (Créditos)

Hoy día no somos capaces de imaginarnos el reto al que los antiguos se enfrentaban. Sumar, multiplicar, dividir, operar con fracciones o calcular el volumen de de un sólido hoy nos parecen tareas triviales… ¡pero precisamente porque hace miles de años hubo genios que ya encontraron las soluciones correctas! Hoy día a cualquier niño se len inculcan los conocimientos acumulados de miles de años en unos pocos cursos escolares, pero obviamente durante mucho tiempo nadie contó con esa ventaja a la que no podemos poner precio.

El simple problema de poner a los números un “nombre” y poder escribirlos ya es uno gordo. En el 2000 a.C. existían en el mundo dos sistemas principales: el egipcio y el babilonio. Cada uno tenía sus ventajas y sus problemas, y sin duda lastró el desarrollo en unas u otras áreas.

Como es sabido, los babilonios usaban un sistema sexagesimal (base 60), que puede parecer más complejo, pero su sistema posicional permitía un uso fácil de decimales. Un número “1” significaba 1. Un “10” significaba 1*60 + 0*1 = 60. Si lo piensas, funciona igual que nuestro “123” = 1*100+2*10+3*1 sustituyendo potencias de 10 por potencias de 60.

En cambio, los egipcios usaban un sistema decimal (base 10) similar al que seguimos usando hoy día de herencia árabe. Pero en lugar del sencillo sistema posicional, tenían símbolos distintos para números grandes y los repetían las veces necesarias:
Símbolos numéricos del antiguo Egipto (fuente)

Un ejemplo para que practiques tú mismo: en la segunda fila de la siguiente escena se mencionan 835 cabezas de ganado a la izquierda, 220 a su derecha y 2235 en la derecha detrás de ellos.

(Lo siento pero parece no existir en Internet otra imagen de este relieve de mejor calidad)

Pero los egipcios no se quedaron en los números naturales: a pesar de no tener un sistema posicional, consiguieron un dominio completo de los números racionales, del uso de las fracciones.

En concreto, lo dejaban todo en función de fracciones de la unidad, con la excepción del 2/3 suponemos que por lo habitualmente que aparecía en sus cuentas. Es decir, si querían expresar el número 9/4, que es 8/4+1/4, lo descomponían en su parte entera 8/4=2 y a continuación la parte fraccionaria de la unidad, el 1/4. Otro caso: el 11/4=8/4+3/4 se escribiría 8/4=2 más 1/4 más 1/2 (que es 2/4).

Los símbolos usados normalmente para las fracciones eran un “cuchillo” o una “tela doblada por la mitad” para el 1/2, y para el resto una “boca” y el número del denominador escrito de manera habitual debajo (o continuando por la derecha si no cabía). Algunos ejemplos:

Ejemplos de fracciones egipcias (fuente)

Como curiosidad, al referirse a fracciones de hekat (una medida de grano) también usaban las partes sagradas del ojo de Horus, donde los denominadores son potencias de dos.

El ojo de Horus y el valor de cada una de sus partes (fuente)

Los egipcios tenían tablas con la descomposición de multitud de fracciones en sus elementales fracciones unitarias, como por ejemplo, 2/5 = 1/3 + 1/15. Se ha encontrado una tabla con todas las descomposiciones de 2/n con n impar desde 3 hasta 101.

Casi 1500 años antes de que Pitágoras viniera al mundo, los centros de estudio de los escribas egipcios eran auténticos centros de investigación donde los profesores se enfrentaban a los gigantescos problemas que ya hoy nos parecen triviales gracias a su labor. Sabemos que entendían y aplicaban correctamente raíces cuadradas (simbolizadas por una “escuadra”) tan “complejas” como la de 1+1/2+1/16 (=25/16), que es 1+1/4 (=5/4). Lo que no sabemos es el método por el que calculaban dichas raíces.

Qué mejor manera de entender el nivel de los problemas que resolvían los egipcios que ver un par de ejemplos.

El siguiente es un problema de cálculo de áreas:

Problema 6 del papiro de Moscú [6]

Traducido, es:

  • Línea 1: Ejemplo de cálculo de un rectángulo.
  • Línea 2: Si alguien te dice: un rectángulo tiene 12 setjat (de área) y tiene una anchura 1/2 1/4 (es decir, 3/4) veces su longitud. (Calcúlalo)
  • Línea 3: Calcula 1/2 1/4 para 1 (la razón de 1 a 3/4). El resultado es 1 1/3 (=4/3)
  • Línea 4: Toma estos 12 setjat 1 1/3 veces. El resultado es 16.
  • Línea 5: Calcula su raíz cuadrada. El resultado es 4 para su longitud (y) 1/2 1/4 de eso es 3 para su anchura.

Y por último, el problema más famoso del papiro de Moscú: el cálculo del volumen de un frustum (una pirámide rectangular truncada):

Problema 14 del papiro de Moscú [1]

Sin duda es uno de los resultados matemáticos más complejos que se conocen de las matemáticas egipcias, ya que usan una fórmula que da el valor correcto (lee mucho más sobre este problema aquí):

Cosa que no ocurre siempre, ya que algunos de los problemas encontrados contienen errores, por lo que   entra en lo posible que algunas de las fórmulas las encontraran “probando” más que siguiendo un método lógico deductivo.

Según sus leyendas, gran parte del conocimiento matemático del pueblo egipcio les vino heredado del dios griego Hermes (el Thoth egipcio), quien legó sus conocimientos secretos a los pueblos antiguos.

Curiosamente, estas ideas aún persistían en pleno Renacimiento, ya que aparentemente el mismísimo Isaac Newton creía que muchos de sus propios descubrimientos en Cálculo y Física ya formaban parte de este conocimiento antiguo derivado de Thoth.

Por cierto, para terminar: si alguna vez has oído que los egipcios conocían el teorema de Pitágoras porque empleaban la relación entre 3, 4, 5 para trazar ángulos rectos “perfectos”, parece que has sido víctima de otra leyenda urbana… los egiptólogos dicen que no existe ninguna evidencia escrita que apoye esta teoría. Bien podrían conocer que (3,4,5) forman un ángulo recto porque cualquiera puede ir probando y descubrirlo por casualidad sin darse cuenta de que precisamente lo son por ser 3²+4²=5².

Referencias para hincharte de leer más:
[1] “Ancient Egypcian Science. A Source Book” (online)
[2] http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_geometry.html#moscow10
[3] “The Exact Sciences in Antiquity“, O. Neugebauer. (Google Booksfuente)
[4] Egyptian Mensuration

[5] “Los orígenes de la civilización”, V. Gordon Childe (1936, 20ª edición 1992).
[6] Cursos sobre historia de las matemáticas de la Saint Louis University (EEUU). 

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