Exámenes tipo test, esperanza matemática y porqué los errores DEBEN restar

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NOTA: Este artículo ha sido vuelto a escribir, más claramente, aquí.Todos hemos sufrido seguramente más de una vez el enfrentarnos a exámenes de tipo test, y seguro que los que más rabia dan son los que descuentan por errores. Sin embargo, hoy vamos a ver porqué, desde el punto de vista del que pone el examen, es obligatorio que los fallos descuenten.

El caso probablemente más común es un exámen donde cada pregunta tiene 4 respuestas posibles y sólo hay una verdadera, en el que cada error descuenta exactamente 1/3 de lo que suma cada respuesta válida.

¿Por qué justamente 1/3? Hoy vamos a repasar las ecuaciones probabilísticas (muy sencillas) de las que se saca esa cantidad.

Tenemos un examen, cuya nota se obtiene como la suma de la puntuación de cada una de las N preguntas, donde llamamos ni a la nota en la i-ésima pregunta, es decir:

(hoy no me apetecía escribir en Latex :-)Llamaremos M al número de posibles respuestas en cada pregunta tipo test. Aquí empezamos nuestro razonamiento: lo que queremos es que si el alumno no sabe ninguna respuesta, obtenga de nota un cero. Matemáticamente, la forma de modelar que una respuesta se hizo al azar, “sin tener ni idea”, es asumiendo que cualquiera de las M respuestas tiene las mismas probabilidades de salir elegida. Esto se llama distribución uniforme.

En ese caso, la puntuación ni obtenida en cualquier pregunta será, solo en uno de cada M casos, de 1 punto positivo, siendo de X puntos negativos (X es lo que queremos derivar, es una incógnita por ahora) si falla, lo que ocurre en el resto de casos:


Por lo tanto, ahora podemos aplicar la esperanza matemática para tener una predicción de qué puntuación sacará el alumno en una pregunta cualquiera, resultado:

Y ahora, asumiendo que cada pregunta se responde independientemente (que existe independencia estadística), ya somos capaces de predecir la nota del examen usando de nuevo la esperanza matemática de la variable aleatoria NOTA:

Y como el objetivo era que para este alumno ficticio que responde al azar uniformemente, su nota sea de cero, pues simplemente igualamos a cero y despejamos la incógnita X (que era lo que restaba cada error):

Y efectivamente, ésta es la fórmula empleada en todos los exámenes de tipo test para descontar los errores. Por ejemplo, para el caso típico de M=4, cada error descuenta 1/3 de punto, por lo que ¡todo encaja!.

PD: Dedicado a jafma… cuando el otro día dijiste que “se podría demostrar la fórmula”, me lo tomé como algo personal 🙂


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Etiquetado con:
  • Hay que ver, no se te puede insinuar nada XDDDD

    Perfecto el razonamiento, por cierto 😉

  • Un detalle na más (qué pasa: tú no puedes evitar lanzarte a demostrar y yo soy un perfeccionista; cada cual es cada cual XDDD): la esperanza tiene siempre la propiedad de linealidad, aun si se hace de una suma de eventos dependientes.

  • Y sin embargo, muchos exámenes de 4 respuestas en los que cada dos respuestas incorrectas restan una correcta seguirán adelante.

    Le tienes que pasar esto a algún que otro profesor de la facultad.

  • @jafma: En realidad sí hay un errorcillo, donde pone por primera vez E[NOTA] sobra el E[n_i] dentro del sumatorio, pero tampoco hace daño ya que sale en el siguiente paso… y pasaba de volver a digitalizar la ecuación! 🙂

    @ñbrevu: Jo… eso es penalizar de más.. en un examen así la “política optima” es no responder nada y sacar un cero! XDD

  • Pensándolo de otra manera, es verdad: puedes quitar la E[] de dentro (o la de fuera, pero la de dentro también). De todas formas la suposición de independencia no es necesaria…

    Y ahora sí que me ha quedado mijitas del tó XDD

  • Un dato relativamente importante en este problema, sería calcular la varianza/desviación típica (la que nás te guste) y exponerla.

    Qué la esperanza sea 0, es un dato importante, pero impreciso. Al ser una medida de centralización, necesita otra de dispersión que refine y precise la información que nos da este operador.

    Un ejemplo, si la varianza fuese 0 (que no es) todo el mundo que respondiera al azar sacaría un 0. Mientras que si la varianza fuese alta, esa esperanza pierde bastante poder predictor.

    Un saludo

  • Iago

    Además en el modelo habría que tener en cuenta que rara vez un estudiante responde al azar entre cuatro respuestas. De mi experiencia puedo decir que el caso más habitual es responder al azar entre dos respuestas y, muy pocas veces, entre tres. Entonces, si en un examen tipo test de 4 preguntas se resta 1/3 por pregunta fallada, yo creo que todavía hay un sesgo a favor del estudiante.

    Aprovechando para debatir sobre el tema, en mi opinión los exámenes tipo test no sirven para evaluar los conocimientos, ya que el hecho de tomar una decisión sobre qué preguntas contestar y cuáles no hace que también se evalúe la habilidad del alumno para enfrentarse a esta técnica en particular.

  • Anonymous

    ¿Qué pasa con las preguntas en blanco?

  • Anonymous

    Hola,

    esta entrada me ha resultado muy útil, porque estoy preparando un examen tipo test para mis alumnos y quería saber cuánto restar por cada respuesta errónea. Quería encontrar la solución más justa, la menos objetable (es que vaya elementos tengo este año en clase) ¡y mira tú por dónde, las matemáticas me han dado la respuesta! Si te soy sincera, apenas he entendido el razonamiento en términos matemáticos, pero he pillado la idea general.
    Ya que estoy, si no te importa, me daré una vuelta por tu casa…
    Un saludo,

    Sara

  • Buenas,

    ¿Y las preguntas multirespuesta? ¿Qué se hace con ellas? ¿Ejecutar al que las inventó? 😀

    Saludos,
    Carlos

  • Las preguntas multirrespuesta transforman un examen de tipo test en uno de verdadero y falso en el que cada opción de cada pregunta es en sí una pregunta (especialmente teniendo en cuenta que en la inmensa mayoría de casos se dice explícitamente que puede que ninguna respuesta sea cierta), y en el que encima no puedes dejar las preguntas en blanco porque la interpretación del examen es: marca->verdadero, en blanco->falso. Cada pregunta de verdadero o falso es como una tipo test con dos opciones, y a partir de ahí se puede aplicar la fórmula para una corrección “justa”. El problema es que, con el rollo de no poder dejar una pregunta en blanco (ya que entonces se interpreta como falso), al final acaban siendo bastante injustos.

  • ¡Qué afortunuado me siento! Tuve el otro dia un examen que llevaba bastante regular, no me dio tiempo a acabar el temario y solo me presenté por eso, porque era tipo test. Era de 40 preguntas, y 3 mal restaban 1 bien. Creo recordar que con seguridad solo sabia unas 17 aproximadamente. Como ya me daba por suspenso, decidí respornder todas, a ver que pasaba. Muchas las respondia por elminación, dudando entre dos respuestas y otras totalmente al azar. Respondí las 40, y me fui a casa pensando en la recuperación. Hoy he visto que tengo y 6,2 y estoy que no me lo creo. Por curiosidad, ¿se podría calcular con alguna fórmula cuantas respuestas acerté?
    Muy buena la entrada y el blog, un saludo!

  • Anonymous

    Yo lo veo más fácil que todo eso. Si hay cuatro respuestas posibles en cada pregunta y respondo todo a boleo, acertaré una de cada cuatro y fallaré 3. Por lo tanto, para compensar ese acierto, los tres fallos deben restar lo mismo que vale un acierto. Así, 3 fallos = -1 punto –> Un fallo = – 1/3, ¿no?

    • Exactamente esa misma idea es la que desarrollaba arriba, pero en “lenguaje matemático” 🙂

  • Anonymous

    Muy, muy claro! Gracias por la explicación 🙂
    Un saludo

  • Este comentario ha sido eliminado por el autor.

  • Existe otra forma de eliminar el azar sin puntos negativos, que es descontar de un examen con todas las preguntas respondidas (se explica y se da instrucciones a los alumnos para que lo hagan) las que se podrían acertar por azar, y se empieza a contar desde ahí.

    Por ejemplo, en un examen de 30 preguntas con tres opciones, se responderían 10 por azar, por lo que 10 aciertos es un 0, y a partir de ahí, cada 2 aciertos es un punto, hasta 30 aciertos que es el 10.

    ¿Algún comentario sobre este método?

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